仿射Hecke代数的同构问题

Affine Hecke algebras are very interesting objects, which have deep relations with geometry, representations of p-adic groups, structure and representations of algebraic groups. Therefore affine Hecke algebras is a popular research field. We are interested in finding relations between various affine Hecke algebras. As we know, finite dimensional Hecke algebras of same type are isomorphic. However we have an different result for affine Hecke algebras over complex field C. Except few cases,the affine Hecke algebra over C is not isomorphic to the corresponding group algebra of the extended affine Weyl group. In particular, two affine Hecke algebras of type A with nonzero complex parameters p,q respectively are isomorphic if and only if pq=1.. In this subject, we will consider two questions: whether type A affine Hecke algebras over C are locally isomorphic under some natural restictions; for the type other than A, whether two affine Hecke algebras with parameters p,q respectively are isomorphic if and only if pq=1.

仿射Hecke代数是一类十分重要的代数，它本身内容丰富，与几何，p进群的表示，代数群的结构和表示均有深刻的联系.因此关于仿射Hecke代数及其表示的研究是当前的一个热门研究领域.我们感兴趣的是参数不同的仿射Hecke代数彼此之间的同构问题.众所周知复数域上同一型的有限维Hecke代数是彼此同构的.而对于复数域上仿射Hecke代数则有不同的结论.除去极个别的情况，复数域上的仿射Hecke代数与相对应的复数域上的扩张仿射Weyl群的群代数是不同构的.特别地，复数域上A型仿射Hecke代数同构当且仅当其参数互逆..本项目研究两个问题:一是复数域上A型仿射Hecke代数是否在局部上有同构结构;二是复数域上A型以外的仿射Hecke代数是否也只有在参数互逆时才彼此同构.

仿射Hecke代数及其表示在很多方面有深刻的意义，因此这个领域的研究是现在的一个热门研究方向.本项目主要研究了下面三个问题：.1、仿射A_n 型Hecke代数H_p和H_q的参数p,q满足什么条件可使得H_p和H_q同构？对于此问题我们分别利用仿射Hecke代数的渐进Hecke代数和对应仿射Weyl群的胞腔理论以及多项式代数同构理论做了探索性的研究.通过计算n=2和n=3的情形我们推测H_p和H_q同构当且仅当pq=1或者p=q.对于其它类型的仿射Hecke代数我们认为也有类似结论..2、由前一个问题可见仿射A_n 型Hecke代数H_p和H_q一般是不同构的，因此我们着力于探索H_p和H_q的局部同构问题.考虑H_p和H_q的商代数H_s,p与H_t,q，其中s,t是SL_n+1(C)的两个半单元且属于其对角子群.我们尝试计算了当s，t，p，q满足某些条件时，可使得H_s,p与H_t,q是同构的，这样就可以认为H_p和H_q在局部上是同构的..3、由于本项目在研究过程中使用了许多Kazhdan-Lusztig理论，而Lusztig定义的a函数的有界性在其中起到很重要的作用，因此本项目还对a函数的有界性问题进行了一些探索.现在对于一般仿射Weyl群a函数的有界性是已知的，另有其他一些情形也有很多研究者做了大量的研究工作. 鉴于这个问题的复杂性，为解决一般Coxeter群a函数有界性的问题，我们先从低阶的情形入手，现在正在计算阶为4的一般Coxeter群的a函数有界性..通过本项目的研究，我们意识到要解决一般仿射Hecke代数的同构问题可能需要更多地依赖于仿射Hecke代数的表示理论.