含乘积噪声的离散时间Markov跳变随机系统的算子谱及其应用

带Markov跳变参数和乘积噪声的离散时间随机系统能够如实反映动态系统的不确定性与随机性，广泛应用于工业制造、生物网络和数理金融等领域。广义Lyapunov方程方法是目前研究这类系统的稳定性最普遍采用的方法。但是，这一方法无法处理临界稳定、收敛速度、能观（检）的谱判据等一些重要的控制问题。本课题拟引入一个由系统的系数矩阵惟一确定的定义在对称矩阵构成的内积空间上的线性算子，通过该算子的谱在复平面上的分布情况刻画渐近均方稳定、临界稳定和本质不稳定，并建立谱与二阶矩Lyapunov指数、系统的收敛速度三者之间的内在联系，从而实现利用谱配置的方法，通过反馈控制使受控随机系统达到工程满意的收敛速度。另一方面，本课题拟研究系统的精确能观（检）性及其相应的算子谱判据，探明它们与稳定性、广义Lyapunov方程的解之间的关系，找到保证系统内部稳定的有效条件，彻底解决无限时间鲁棒H2/H∞控制器设计问题。

具有乘积噪声的Markov跳变参数系统在描述动态系统的不确定性与随机性方面具有良好的普适性，在基因调节网络、航天器控制、金融安全等领域具有广泛的应用前景，其相关基础理论已成为控制理论研究的前沿课题。本项目采用算子谱方法深入研究了这类系统的能稳性和能观（检）性，并把得到的关于能检的PBH判据（也称谱判据）运用于无限时间H2/H∞控制器的设计中。主要研究成果包括如下两方面：首先，基于由系统的系数矩阵和状态转移概率惟一确定的广义Lyapunov算子，得到了渐近均方稳定、临界稳定和本质不稳定的谱判据和精确能观（检）的PBH判据，探明了Markov跳变参数随机乘积噪声系统的（临界）稳定性、精确能观性与广义Lyapunov方程的（半）正定解的存在惟一性三者之间的关系；其次，利用精确能检的PBH判据得到了保证闭环系统内部稳定的有效条件，运用Nash博弈法解决了离散时间Markov跳变参数系统的无限时间H2/H∞最优控制问题，所研究的系统模型中不仅含有跳变参数，而且含有与状态、控制和扰动相乘的噪声，是目前离散时间随机时不变系统无限时间H2/H∞控制的最理想结果。尤其需要指出的是，项目组还对随机时变系统的无限时间H2/H∞控制问题进行了探索性研究并取得了突破性成果，首次建立了随机时变系统的有界实引理，提出了无限时间H2/H∞最优控制器的设计方法，并成功应用于乘数-加速数宏观经济模型的研究上。这一成果发表在国际权威控制理论期刊Automatica 2012年第七期上。