一类状态受限最优控制问题谱方法的后验误差估计

This project is mainly focused on the spectral method for state constrained optimal control problems and its a-posteriori error estimations. Recently more and more scholars are increasingly paying attention to state constrained optimal control problems governed by partial differential equations, and much headway has been made. Many numerical simulations have been provided and investigated. The applicant has deduced the superconvergence of mixed finite elements for optimal control problems with control constraints, investigated the a-posteriori error estimator in one dimension and the optimal conditions for state integral constrained optimal control problems. Currently, there is less research on the a-posteriori error estimations of state constrained optimal control problems with spectral methods. Firstly, motivated by preliminary works of spectral methods, members of this team will derive an improved inverse estimation of two types of polynomials with the first derivative and analyze the a-posteriori error estimations and the (pseudo-)optimal a-posteriori error estimator for the model problems. Members will also construct an explicit constant expression in upper bound estimation and study various types of state constrained optimal control problems, such as integral constraint, energy norm constraint and gradient norm constraint. Secondly, this team will study optimal conditions and the a-priori and a-posteriori error estimations for some given problems and deduce an explicit scheme for the given a-posteriori error estimator. Furthermore, the convergence of algorithms will be discussed.

本项目主要研究基于谱方法的状态受限最优控制问题及其后验误差估计问题。状态变量受限最优控制问题是偏微分方程约束的最优控制理论领域中一个热门方向,并且其理论研究已经获得长足发展。申请人已经讨论了基于混合有限元方法控制受限最优控制问题的超收敛结果，研究了低维空间谱方法的后验误差估计和状态积分受限最优控制问题的最优性条件。目前，状态受限最优控制问题谱方法的后验误差估计研究还很少。在已有工作基础上，本项目计划深入探讨如下问题。首先通过改进两类正交多项式一阶导数逆估计的阶，研究模型问题的后验误差估计，构造(拟)最优后验误差估计子，尽可能精确的给出误差上界对应常数的表达式。其次研究多种类型的状态受限最优控制问题的谱方法分析，如积分受限、能量模受限和梯度模受限等，推演最优性条件，并且分析先验和后验误差估计。同时讨论显格式的后验误差估计子，并证明构造算法的收敛性。

本项目主要研究基于谱方法的状态受限最优控制问题及其后验误差估计问题。状态变量受限最优控制问题是偏微分方程约束的最优控制理论领域中一个热门方向,并且其理论研究已经获得长足发展。申请人已经讨论了基于混合有限元方法控制受限最优控制问题的超收敛结果，研究了低维空间谱方法的后验误差估计和状态积分受限最优控制问题的最优性条件。目前，状态受限最优控制问题谱方法的后验误差估计研究还很少。本项目组结合Legendre正交多项式和Chebyshev正交多项式的性质，研究了Galerkin谱方法求解模型问题的数值离散格式，分析了相应的先验误差估计及后验误差估计，给出了后验误差估计子的显格式表达式。其次研究了多种类型的状态受限最优控制问题的谱方法分析，推演最优性条件，并且分析先验和后验误差估计，精确的给出了误差上界对应常数的表达式。同时讨论了便于程序实现的后验误差估计子，并结合基函数的正交性质得到了显格式的后验误差估计子，结合模型问题的特性构造了高效的数值算法，并证明了该算法的收敛性。. 本项目主持人被遴选为“计算数学”方向重点培养的学术带头人，并破格晋升为教授，参加本项目的主要成员均晋升至高级职称岗位。目前，本项目组主要成员主持国家自然科学基金青年项目2项、面上项目1项，主持山东省优秀中青年科学家科研奖励基金计划项目1项。本项目执行期间，发表学术论文22篇（SCI检索16篇，含2篇接收；EI检索3篇），累计培养硕士研究生3人，指导多名本科生撰写与本项目研究内容相关的毕业论文，获得“山东省优秀学位论文”称号1项。本项目组成员多次参加全国学术会议，以及在美国、俄罗斯举办的SIAM、SCTEMM-2013等国际学术会议，并报告了相关的研究成果。本项目组成员就研究过程中所涉及到的问题，积极与国内外学者通过电子邮件、电话等方式交流和探讨，并多次邀请美国、英国以及国内的谱方法和最优控制问题方面的专家和青年学者来临沂大学进行学术交流。经Goolge Scholar学术检索，本项目课题组关于后验误差估计（子）及约束最优控制问题的相关结果已经被国内外同行多次引用，并获得市第十三届自然科学优秀学术成果奖1项。