相场模型最优控制问题及其谱方法研究

In recent years, optimal control problems based on phase-field models have become hot issues in scientific research and engineering fields, which are now widely used in multi-disciplinary applications. Therefore, the study of highly accurate numerical methods for the optimal control problems has significant theoretical value and application prospect. In this project, we will employ the spectral method, which possesses the spectral accuracy, to investigate the optimal control problems based on the phase-field models. Motivated by preliminary works, members of this team will study the boundary and distributed constrained optimal control problems based on the phase-field models. The state equations of the optimal control problems will be constructed by combining equations of fluid dynamics with the Allen-Cahn equation or Cahn-Hilliard equation, respectively. The constraints on control, state and control-state variables will be described with integration, energy norm and gradient norm. According to different constraints on control and state variables, we will study the corresponding optimal conditions. Meanwhile, we will employ the Galerkin spectral methods to solve the continuous systems and design corresponding efficient algorithms for the simulations with high accuracy. Especially, the convergent rate will be discussed in detail, and the a-priori and a-posteriori error estimates (indicators) will be investigated. What’s more, this work is an exploratory research on high-precision numerical simulations of multi-phase flow problems, but also provides the theoretical and practical bases for more optimal control problems based on phase-field models, and has potential prospects in oil-gas exploitation and other engineering fields.

相场模型最优控制问题是科学研究与工程技术领域的一个前沿热点课题，其高精度数值解法的研究具有重要理论意义和应用价值。本项目拟借助具备“谱精度”特性的谱方法对相场模型约束最优控制问题进行系统地研究：分别基于Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程并耦合流体力学的基本方程，建立边界和分布式约束最优控制问题模型；研究最优控制问题模型在控制、状态及控制-状态变量的积分、能量模与梯度模约束条件下的最优性条件；结合Galerkin谱方法设计相应的快速算法并分析其收敛速度，实现相场模型约束最优控制问题的谱方法高精度数值模拟，同时讨论问题模型Galerkin谱方法的先验误差估计和后验误差估计(子)。本项目的研究工作是对多相流问题高精度数值模拟的探索，不仅为研究相场模型最优控制问题提供了理论基础，而且在油气开采等工程领域具有较好的应用前景。

本项目主要研究了相场模型和最优控制问题在不同约束条件下模型的最优性条件，探讨了低阶偏微分方程和特殊流体模型高精度数值求解问题，结合谱方法分析了多种模型算法的收敛性，并深入探究了后验误差估计等问题。项目执行过程中对研究内容进行了合理延展，目前所完成的工作主要包括：(a)研究了N(N≥3)相的不相容且不可压缩流体的壁面相场模型问题；(b)研究了不可压缩两相流的旋转压力修正格式；(c)研究了约束最优控制问题的改进最优性条件及迭代参数问题；(d)研究了定常Navier-Stokes及四阶方程的最优控制问题；(e)研究了低阶偏微分方程和特殊流体模型高精度数值求解问题。. 基本实现了本项目的研究目标，建立了不相容不可压缩流体的壁面相场模型，给出了Navier-Stokes及高阶方程最优控制问题在不同约束下的最优性条件，解决了快速算法的收敛性分析及误差估计问题，实现了相场模型约束最优控制问题的高精度数值模拟。.此外，及时将成果与实际工程问题结合，目前与中石化胜利油田分公司勘探开发研究院合作申请发明专利，该发明提供了聚合物凝胶颗粒孔隙尺度运移的直接跟踪方法。胜利油田的矿场实践表明，可实现老油田大幅度降水增油。. 本项目组包括固定人员5人，研究生2人，项目组成员在完成预定研究工作的同时，积极尝试与各自的研究领域相融合、交叉，攻克了部分研究难题，针对疑难问题及时地与国内外专家学者进行请教交流，先后参加国内外学术会议20余人次。目前共计发表SCI论文12篇，获批国家级科研项目1项、省部级项目4项，获科研奖项1项，申请发明专利1项(目前正在实质审查阶段)。特别地，项目负责人申请获批省优秀青年人才基金1项。此外，依托本项目组成员为核心,申请获批省高等学校“青创科技计划”研究团队1项，为本项目组的后续科研攻坚提供了坚实的团队平台和研究基础。. 在研究过程中也发现了新的研究问题，这都为后续研究工作指明了前进的方向。