张量的低秩逼近及其应用

With the development of modern science and technology, data processing is becoming very huge. The mass amount of data includes many high-dimensional data, such as video image, hyperspectral remote sensing image, and quantum entanglement, which is high-order tensor data in essence. Due to low-dimensionality of high-order tensor data, low rank approximation of tensors is playing important role in big data compression, recognition and recovery. While application of traditional methods to higher-order data is typically performed by conversion of data to very long vectors or matrices, this must be measured by imposing a huge computational and memory burden, and frequently losing their own geometry, their own statistics, and a measure of nonlinearity attributes. To overcome this problem, we will do researches on theory and methods of tensor low-rank approximation and its applications. Our research includes: the best rank r approximation of a tensor; low-rank tensor recovery; applications of tensor low-rank approximation, especially in high dimensional image processing. Our researches will not only provide more efficient methods and theory for big data compression, recognition and recovery, but also provide. a theoretical basis and data processing technology for big data.

随着现代科学技术的发展，需要处理的数据量变得非常巨大，在这些海量数据中又包含大量的诸如视频图像、高光谱遥感图像、量子纠缠等高维数据，其本质上是高阶张量数据。由于高阶张量数据往往具有低秩属性，张量的低秩逼近成为高维数据信号识别、压缩和恢复的一个重要手段。如果按照传统的数据处理方法将张量数据转换为非常长的向量或矩阵来实现，必然带来巨大的计算和存储负担，同时也会丧失张量所固有的几何、统计与非线性度量性质。为此，本课题将开展张量低秩逼近理论和方法及其应用研究，研究内容包括：张量最佳秩r逼近；张量低秩恢复；张量低秩逼近理论和方法的应用，特别是在高维图像处理中的应用研究。通过本课题的研究，为高维数据信号和图像的识别、压缩和恢复提供更加高效的方法和理论基础，也为处理海量数据提供理论指导和技术支撑。

本项目针对高维数据的识别、压缩和恢复问题，开展张量的低秩逼近及其应用研究，分别从张量最佳秩r逼近、张量低秩恢复、以及张量低秩逼近理论和方法的应用等三个方面进行系统研究，为高维数据的压缩、识别和恢复提供更加高效的方法和理论基础，也为处理海量数据提供理论指导和技术支撑。获得的主要研究成果如下：1．建立带球约束的多复变量的实值优化问题的优化算法和理论，构建复张量最佳秩1逼近和特征值的计算方法，为解决量子信息中的量子纠缠的测度和计算等问题提供有效的途径和方法。2．分别对张量完备化问题和具有噪音的张量完备化问题，提出张量秩校正模型，建立误差界理论，基于误差界理论，提出自适应校正方法；建立校正模型的多个Block的交替方向方法，为高维图像的恢复提供理论方法和技术支撑。3．对于带脉冲噪音的图像恢复，提出了TVL1的校正模型，建立了多步校正的方法，极大提高稀疏度和图象恢复恢复的精度；进一步，提出带脉冲噪音的图像恢复的非凸优化模型和DC方法，一定程度上说明了多步校正收敛到该非凸模型。4．建立了张量特征值的上界和下界，提出了张量的Moore–Penrose逆 的概念：证明了张量Moore–Penrose 逆的存在性了唯一性，利用快速傅里叶变换，提出了张量Moore–Penrose 逆的计算方法，为张量特征值研究提供了理论基础和计算基础。通过四年的研究，课题组培养博士生3名，硕士生12名，其中1人博士论文被评为湖南省优秀博士论文；在包括一区和二区国际顶尖期刊（如：SIAM Journal on Imaging Science, Inverse Problems, Journal of Scientific Computing，Journal of Global Optimization等）上发表论文13篇，其中 SCI 检索11篇，SIAM Journal on Imaging Science上3篇。总的来说，该研究达到了预期研究目的，这些研究成果能够为高维数据的识别、压缩和恢复提供理论基础和技术支撑，不仅具有理论意义，而且具有广阔的应用前景。