不连续微分方程的定性研究

在现有研究工作的基础上，进一步深入研究不连续微分方程的若干关键理论问题，包括初值问题解的存在与唯一性，解对初值及系统参数的连续依赖性，解的延拓和整体存在性，平衡点、周期解的存在性与稳定性，滑模解等特殊解的存在性，解的有限时间收敛性，以及由参数变化所引起的分岔和混沌等。发展不连续微分方程定性研究方法，如：发展不连续微分方程稳定性研究的Lyapunov方法；发展不连续函数的度理论与非光滑的临界点理论以研究不连续微分方程周期解的存在性；综合运用集值映射、微分包含、微分方程的扰动、非光滑分析等理论研究不连续微分方程解的大时间性态等。利用发展的方法与理论，对科学与工程等领域中一些具不连续因素影响的实际问题进行动力学建模，研究新建和已有的一些用不连续微分方程描述的数学模型的动力学性质。这些研究既可丰富不连续微分方程的研究方法和理论，又可为众多具不连续因素影响的实际问题的分析与解决提供有效方法和理论工具

自本项目立项以来，我们获得了一系列重要研究成果，至今为止已发表论文33篇，其中30篇发表在SCI源刊杂志上，出版《右端不连续微分方程理论与应用》专著1部。这些研究成果为整个项目的完成提供了坚实的支撑，也达到了本项目所制定的预期目标。本项目的主要研究成果包括理论研究和应用研究两个方面，具体可归结如下：. 在理论研究方面，我们重点对不连续的时滞微分方程和泛函微分包含的在Filippov意义下解的基本性质和定性与稳定性问题进行了研究。这些基本问题主要包括：解的有效性、解的唯一性和延拓性、解对初始值和参数的连续依赖性、解轨线各种不同的稳定性和收敛性行为(例如，全局渐近或指数稳定性、同步和拟同步性、全局耗散性和鲁棒稳定性)等等。通过对这些基本理论问题的研究，我们在一定程度上发展了右端不连续微分方程和微分包含（特别是右端不连续时滞微分方程和泛函微分包含）理论和研究方法。. 在应用研究方面，我们把所创新的理论性成果和研究方法应用到各种不同的科学与工程领域：神经网络、生物学和传染病学、自动控制与工程、机械学、物理学等等。我们主要从两方面着手研究。一是根据现实生产生活中出现的一些不连续现象，在一些已有模型的基础上，我们建立和探讨了不同领域中可由右端不连续微分方程来刻画的若干数学模型。并且通过构造Filippov集值映射(即Filippov正规化)把右端不连续的微分方程转化为微分包含。其二是在Filippov微分包含的框架内，综合运用集值映射的不动点理论、广义的Lyapunov方法、集值分析中的拓扑度理论、矩阵分析、矩阵测度理论和一些广义的不等式、非光滑分析等一些新颖的工具与方法来研究各种动力学行为。所研究的动力学行为主要有(正)平衡点、(正)周期和概周期轨、稳定性以及由参数变化引起的分岔与一些其它复杂动力学现象等等。这些研究成果的取得也为今后的进一步深入研究打下了很好的基础。