广义Birkhoff系统的全局分析

研究广义Birkhoff系统的形式不变性与共形不变性,并讨论形式不变性、共形不变性以及Noether对称性之间的关系,不变性与守恒量之间关系;研究该系统高阶绝热不变量的构造方法,揭示高阶绝热不变量与无穷小对称变换群的摄动之间的正反关系,证明高阶绝热不变量存在的条件及形式;研究广义自治Birkhoff系统的奇点、闭轨、稳定流形和不稳定流形, 给出奇点判据、闭轨判据和双曲平衡点判据,以及与之相关的稳定性;研究该系统的平衡稳定性,并进一步研究全局渐近稳定性;对高维自治情形广义Birkhoff系统的周期闭轨进行研究,进一步讨论哪些闭轨经扰动能成为极限环及其极限环的个数,即Poincaré分岔问题;研究具有同宿、异宿轨道的广义自治Birkhoff系统在弱周期扰动下的混沌。该课题是分析力学、运动稳定性、非线性动力学等学科的交叉方向,不仅有重要的理论意义,而且具有重要的实际应用价值。

研究了广义Birkhoff系统平衡状态流形的稳定性以及二阶广义自治Birkhoff系统的全局稳定性；将Birkhoff系统循环积分降阶法推广到广义Birkhoff系统, 研究了广义Birkhoff系统循环积分的存在条件和形式，将场方法和最终乘子法应用于广义Birkhoff系统, 求出了广义Birkhoff方程的解；研究了该系统高阶绝热不变量的构造方法，揭示了高阶绝热不变量与无穷小对称变换群的摄动之间的正反关系，证明了高阶绝热不变量存在的条件及形式；研究了广义自治Birkhoff系统的奇点、闭轨，给出奇点判据、闭轨判据和双曲平衡点判据，以及与之相关的稳定性；利用Liapunov中心定理对高阶广义Birkhoff自治系统的平衡点和周期轨道进行了研究，得到了系统的平衡点及其性质，并给出了周期轨道的存在定理；研究了非齐次Hamilton系统的Birkhoff表示，探讨了赝广义Birkhoff方程的形式以及构造动力学系统赝广义Birkhoff方程的目的和意义；利用现代微分几何的方法研究了自治Birkhoff系统和非自治Birkhoff系统的Noether对称性，并得到了相应的守恒量；提出了Birkhoff系统和广义Hamilton系统Lie对称性的新方法，给出了该系统一个新的守恒律及新的守恒量；另外还研究了约束力学系统微分方程的最终乘子法，奇异Lagrange系统的共形不变性，Poincaré方程、有多余坐标完整系统和弱非完整系统的梯度表示和分数维梯度表示以及Tzénoff方程的对称性和守恒量等。