趋化反应扩散模型解的动力学行为

This project is concerned with the dynamic behavior of the solutions to several kinds of chemotaxis reaction-diffusion model. The main topics that we will discuss are as follows: (1) To study chemotaxis-haptotaxis models with remodeling of non-diffusible attractant, (2) To investigate Keller-Segel-fluid dynamic models, (3) To study Keller-Segel systems with singular sensitivity and signal absorption, (4) To study chemotaxis-fluid dynamic models with singular sensitivity. The significance of the research lies in two aspects. On one hand, biologically the investigation of these models will deepen the understanding of the impact exerted by the interaction of chemotaxis reaction diffusion and other biological dynamic mechanisms on spatial distribution of microorganism species. On the other hand, theoretically we will develop new mathematical methods, including new techniques on a priori estimates, to study global existence, boundedness and asymptotic behavior of classical or weak solutions to the models considered in this project.

本项目旨在研究几类趋化反应扩散模型解的动力学行为。具体研究内容如下：（1）对细胞外基质可修复的趋化-趋触模型的研究；（2）对Keller-Segel-流体动力学模型的研究；（3）对带有奇异趋化敏感度的耗氧型 Keller-Segel 模型的研究；（4）对带有奇异趋化敏感度的耗氧型趋化-流体动力学模型的研究。本项目研究意义在于：一方面从生物学的角度出发，通过研究这些模型解的动力学行为，进一步了解趋化反应扩散机制和其它生物动力学机制的相互作用对微生物种群在空间分布的影响。另一方面从理论分析的角度出发，通过对项目中所考虑的几类趋化反应扩散模型的研究，在古典解或弱解的整体存在性、有界性及渐近行为方面，系统地发展研究方法，包括一些新的先验估计技巧。

在本项目中，我们考虑了三种不同的趋化-流体模型初边值问题解的动力学行为。具体说来，对于边界光滑的三维有界区域上的趋化(-Navier)--Stokes珊瑚受精模型，在多孔介质扩散或p-Laplace扩散或依赖于趋化物浓度梯度的饱和机制的作用下，我们研究了模型在适当的初边值条件下的解的整体存在性(或有界性)和稳定性；对于边界光滑的二维有界区域上的趋化-斥化Stokes模型，已经得到了其在适当初边值条件下的整体有界性和稳定性的结果；对于带有对数敏感度且趋化物被消耗的二维趋化-Navier--Stokes模型，在适当的边界条件下建立了其全局广义解并在初始值适当小的假设下得到了该广义解的最终光滑性和稳定性。以上这些结果可以作为今后相关理论研究的基础。