含边界和缺陷周期结构的基于群论和Woodbury公式的高效率数值积分方法

In this project, the efficient numerical methods are studied for the periodic structures with boundaries, linear defects and nonlinear defects. For the above three kinds of dynamic systems, based on the group theory and Woodbury formula, a unified time integration method will be established. For the periodic structures with boundaries or linear defects with no symmetry, based on the Woodbury based formula and using a very small amount of calculation, the original structure can be converted to an equivalent structure with high symmetry. For the equivalent structure with high symmetry, taking advantage of using group theory dealing with symmetry, the large-scale problem can be transformed into a series of small-scale problem. This method can solve the inefficiency problem of numerical integration of large-scale periodic structure. For the periodic structures with nonlinear defects, based on the fact that the propagation speed of the energy in a dynamic structure is finite, the whole nonlinear structure can be decoupled precisely to a small-scale non-linear structure and a large-scale periodic structures with linear defects. For the small-scale nonlinear structure, the popular numerical methods can be used, and for the large-scale periodic structures with linear impurities, the efficient method proposed above can be used. This method can avoid solving large-scale nonlinear dynamical equations and provides an effective method for the dynamic integration of periodic structure with nonlinear defects.

研究含边界、线性缺陷和非线性缺陷周期结构的高效率动力学数值积分算法。针对上述三类周期结构，基于群理论和Woodbury公式，建立一套统一的高效率数值积分算法。对于不再具有对称性的有限大周期结构和含线性杂质周期结构，基于Woodbury公式，通过一个计算量很小的过程，将原结构等价转换为具有高度对称性的结构。对于变换后的具有高度对称性的结构，利用群理论处理对称性问题的优势，将大规模问题转换为一系列小规模问题求解，解决大规模周期结构动力学数值积分计算效率低下的问题。对于含非线性缺陷的周期结构，基于能量在结构中传播速度有限的性质，将整个非线性结构精确地解耦为一个小规模非线性结构和一个大规模含线性杂质的周期结构。小规模的非线性结构，可采用成熟的积分方法求解，而对于大规模含线性杂质的周期结构，可采用以上发展的高效率方法求解。避免了求解大规模非线性动力方程，实现含非线性缺陷周期结构的有效分析手段。

本项目开展求解含边界周期结构、含线性缺陷周期结构、含非线性缺陷周期结构动力响应的高效率数值算法研究。主要研究内容包括以下4个方面： (1) 基于Woodbury公式和群理论的周期结构动力分析的高效率算法研究。基于结构的周期特性、凝聚技术和Woodbury公式，将大规模周期结构对应线性代数方程组的解转换为循环周期结构对应线性代数方程组的解。在此基础上，基于群理论将循环周期结构对应线性代数方程组的系数矩阵分块对角化，从而显著提高周期结构动力问题分析的计算效率。(2) 基于凝聚技术、周期结构的动力特性和群理论提出一种求解含缺陷周期结构动力响应的高效数值方法。根据周期结构动力系统中线性代数方程组的特性，严格证明了在给定时间步内，作用在某个局部单胞上的外力只会对周围有限个单胞产生影响。在此基础上将含缺陷周期结构的动力响应转换为一个含缺陷小规模子结构和一个完美周期结构的响应分析。该方法的计算效率优于常用的数值积分方法，且可大幅度节省内存的使用。(3) 针对含有大量间隙的分段线性周期系统，建立了求解其动力响应的参变量变分原理和高效率数值积分方法。通过参变量变分原理描述间隙弹簧，将复杂的非线性动力问题转化为线性动力问题和线性互补问题。该算法避免了求解过程中的迭代和刚度阵更新，并能准确判断间隙弹簧的压缩和松弛状态。(4) 基于线性系统的叠加原理、瞬态热传导问题的物理特性以及结构的周期特性，提出了一种求解周期结构瞬态热传导问题的高效数值方法。根据叠加原理，将周期结构温度响应的计算转化为一系列基本有限元模型温度响应的计算。结合瞬态热传导问题的物理特性并利用结构的周期特性，将所有基本有限元模型温度响应的计算转化为一系列小规模有限元模型温度响应的计算。算法不仅继承了精细积分方法的高精度和稳定性，而且能够明显地提高计算效率。本项目已发表刊论文14篇，其中SCI检索 13 篇，参加国际学术会议3次，培养博士生4人、硕士生2人。通过以上研究，达到了预期的研究目的，实现了预期研究目标。