Banach空间非线性数值指标的研究

The numerical index of Banach space is one of the most important subjects of functional analysis, the nonlinear operator, especially Lipschitz operator is one of the most important objects of functional analysis scholars. In this projection, we will study the numerical index of Banach space using nonlinear operaotr, which contains the following three contents: 1) We study the property of nonlinear numerical index of Banach spaces, especially Lipschitz operator, which include caculate the nonlinear numerical index of some classical Banach spaces, the stablity property of nonlinear numerical index of Banach space and so on. 2) Study the relationship of nonlinear numerical index and linear numerical index. 3) We study the isometric extension problem and nonlinear spectral theory using the numerical index of normed space.

Banach空间数值指标理论是近年来泛函分析方向一个重要的研究课题，而非线性算子，尤其是Lipschitz算子是泛函分析学者研究的重要对象之一。本项目首次将非线性算子引入Banach空间指标理论，拓展前人单一的研究空间上线性算子数值域及空间数值指标，进而研究空间上非线性算子（尤其是Lipschitz算子）的数值域和空间对应的数值指标,并对以下三方面展开系统研究:1)非线性数值指标性质的研究，其中包括经典Banach空间非线性数值指标的计算、非线性数值指标的稳定性等问题；2）空间非线性数值指标和线性数值指标之间关系的研究；3）非线性数值指标应用问题的研究，将数值指标这一重要工具应用于研究赋范空间单位球面间等距算子的延拓问题，即Tingley问题，以及非线性谱理论中，为它们提供重要的理论依据。

Banach空间数值指标理论是近年来泛函分析方向的一个重要研究课题，而非线性算子，尤其是Lioschitz算子是泛函分析学者研究的重要对象之一。本项目主要研究Banach空间上的Lipschitz算子的数值域和数值半径问题，并将研究结果用于对赋范空间单位球面间等距问题的研究。重要的研究结果：我们运用Lipschitz算子的Gateaux可微性，讨论了具有RNP的一类空间上线性数值指标和Lipschitz数值指标的关系，证明了两者的一致性。我们给出部分经典的Banach空间Lipschitz数值指标的准确计算，并对Lipschitz数值指标的稳定性进行了研究，得到了很好的结果。我们在算子空间中刻画了完全几何酉元的性质和特征。此外我们对二维空间上的等距延拓问题进行了深入的研究，运用二维空间单位球面的度量性质给出了二维等距延拓问题的初步解答。