基于非光滑动力系统的传染病最优防控策略研究

The infectious disease, seriously threatening human health and life safety, is an urgent problem to be prevented and controlled. Traditional optimal control problem of disease are proposed based on ordinary differential equations without considering the discontinuity, non-instantaneousness and state-dependency of control measures. The purpose of this project is to solve the constrained optimal control problems formulated on the basis of non-smooth models, with the constraint conditions driven by the finiteness of resources and tolerance of environment or body and so on. These constrained optimal control problems include aspects of investigating the implementation of various strategies to, firstly, minimize the infections of disease, the economic cost and environmental pollution, secondly, control the disease to the desired level in the shortest time. Theoretically, we aim to study the existence of optimal solution, to seek and extend the analysis methods of the constrained optimal control problems of the proposed non-smooth control systems. In the aspect of application, we estimate the model parameters by fitting infected data to the corresponding model variable, develop the numerical solving methods of the optimal control problem and solve the problem, so as to design the optimal control scheme and provide the quantitative basis for the department of public health.

传染病严重威胁人类健康和生命安全，有效防控传染病是人类亟待解决的重要问题。传统的疾病最优控制问题都是在常微分方程的基础上提出的，忽略了人为控制的间断持续性和状态依赖性。本项目旨在应用非光滑动力系统刻画间断持续性和状态依赖性的干预措施，考虑措施实施的资源有限性和环境或身体的耐受力等因素，提出疾病综合控制的约束优化问题：如何实施措施使得感染人数、经济损耗、环境污染等达到最小；如何在最短时间将疾病控制到预期水平。理论上，分析最优解的存在性，着重探索和推广传染病非光滑动力系统条件约束最优控制问题的分析方法。应用上，结合实际数据确定模型参数值，发展最优控制问题的数值解法并求解，根据最优解设计最优控制综合策略，为公共卫生部门措施实施中的资源合理分配提供定量依据。

非光滑动力系统在传染病建模研究中有很广泛的应用。例如以蚊虫为媒介的传染病传播中，人们会阶段性捕杀蚊虫，或者当疫情达到控制阈值时采取瞬时的蚊虫捕杀策略，而脉冲动力系统和Filippov切换系统可以合理的描述这些控制措施。本项目以非光滑动力系统为理论模型，考虑周期性的、状态依赖性的以及阶段持续性的预防措施，研究传染病的传播情况。. 首先，针对控制措施实施的周期瞬时性，建立了脉冲动力系统，理论上研究了该系统的动力学行为，包括脉冲系统无病周期解的存在性、局部稳定性、疾病的一致持久性。特别地，脉冲交叉传播模型很好的保留了经典交叉传播模型的性质—存在后向分支。. 其次，基于控制措施实施的阶段持续性，建立了Filippov切换系统来形象的刻画该控制措施，理论上分析了两个子系统的全局动力学性态。与经典的交叉传播模型相比较，Filippov切换系统存在跟复杂的动力学性态，包括滑动模式和滑动平衡点等。. 最后，在已经建立的非光滑动力系统的基础上，提出最优控制问题：如何实施防控措施，使得控制末端染病人数、从控制开始到结束的染病总人数、蚊虫扑杀实施花费以及人群保护措施实施花费总数最小。通过理论分析，给出了控制问题的最优解，并且通过数值模拟给出了具体控制下的最优解和控制目标值。