Swift-Hohenberg方程的高效数值方法研究

The Swift-Hohenberg (SH) equation has attracted much attention and research from scholars due to the complex form of its equation as well as the interesting pattern formation process it evolves. In this project, we focus on efficient numerical method for SH equation. First, with finite element method and finite difference method to discretize the space variable, and operator splitting method, semi-implicit method and high order scheme to discretize temporal variable, some discrete schemes with adequate accuracy in both space and time are proposed. Based on these schemes, we choose ones that keep a discreet version of nonlinear stability property, and some other physical properties as well. For long time simulation, a new time-step prediction method is proposed, and also the PI controller method is used. In the new method, we prevent the artificial parameter problem in the existing method. At last, the finite difference scheme and finite element scheme is implemented. The time-step perdition module and PI controller module are introduced, and some existing nonlinear solvers are also used. Compared with the existing methods, the project here is showed to be efficient numerical methods for SH equation.

Swift-Hohenberg方程因其本身的复杂性和其解演化形成有趣模式的过程，广受学界的关注。本项目研究SH方程的高效数值算法。首先，通过考虑有限元，有限差分等空间离散方法和算子分裂、半隐式格式和高阶的时间格式，选取具有一定时空精度的格式离散SH方程。在此基础上选择格式，使离散方程保持非线性稳定性和其他一些物理性质。对长时间模拟行为，提出新的时间步长预测的方法，以及使用已有的PI控制法，并注意避免已有方法中含有人工参数选取的缺陷。最后，通过编写程序实现有限元和有限差分的数值计算，加入步长预测方法和PI控制法的模块预测计算步长，利用非线性求解器求解方程。通过与已有的方法进行比较，体现本项目的方法是高效的数值方法。

相场方程的数值模拟,包括Swift-Hohenberg（SH）、Cahn-Hilliard、Molecular Beam Epitaxy等方程，是近年来一个热门的研究课题。其研究的难点在于方程中通常有高阶导数项、小参数问题，另外还需要进行长时间模拟达到稳定状态。本项目从SH方程出发，研究如何设计合适的空间离散方法和时间离散格式，使得离散格式能够保持连续方程某些特定的物理性质。通过这些物理性质，我们给出特殊的时间步长指示子，使得在计算过程中能够根据某些特定的物理性质调整时间步长，减小模拟时间。之后我们将类似的方法扩展到其他的相场方程，根据这些方程具有的特定的性质设计离散方法，根据离散方程的物理性质设计时间步长方法，并用数值实验来检验算法的效果。另外，我们还研究了一些空间离散方法比如DG方法，使得我们在研究这些相场方程的手段更为丰富。