旋转周期解的Lyapunov中心定理

Lyapunov center theorem is a famous result in the theory of periodic solutions of differential equations. In this project, we intend to study the problem of rotating periodic solutions of Hamiltonian systems which are invariant under some group action on the energy surface and give the Lyapunov center theorem on rotating periodic solutions. It mainly includes the following two aspects. a) Local case: assuming that the Hessian matrix of Hamiltonian function at the equilibrium is positive definite and the eigenvalues of the coefficient matrix of the linearized system satisfy the non-resonant condition, we intend to study the relationship between the number of rotating periodic orbits and the degree of freedom on each energy surface near the equilibrium. b) Global case: we want to study the multiplicity of rotating periodic solutions on the starshaped energy surface. Under some pinching conditions, we intend to give the relationship between the number of rotating periodic orbits and the degree of freedom.

Lyapunov中心定理是微分方程周期解理论中的一个著名结果。本项目拟研究具有群不变性的哈密顿系统在能量面上的旋转周期解问题，拟给出关于旋转周期解的Lyapunov中心定理。主要包含以下两个方面的内容。a)局部情形：假设哈密顿函数在平衡点处的Hessian矩阵是正定的，并且线性化系统的系数矩阵的特征值满足非共振条件，拟研究在平衡点附近的每个能量面上，旋转周期轨的个数与系统的自由度之间的关系。b)全局情形：拟研究星形能量面上旋转周期解的多重性问题，在一定的箍缩条件下给出旋转周期轨的个数与系统自由度的关系。

Lyapunov中心定理是微分方程周期解理论的一个基本而著名的结果，长期以来对它的发展产生了很多重要的的工作，加深了人们对哈密顿系统动力学行为的认识。本项目给出了旋转周期解的Lyapunov中心定理，主要包括以下内容：建立了旋转周期函数的指标理论，并研究了其相关性质；在2n维哈密顿函数关于某个辛正交子群具有不变性的假设下，证明了平衡点附近的能量面上至少包含n个旋转周期轨；证明了非局部的一般的凸能量面上至少包含n个旋转周期轨。此外，我们还研究了超二次哈密顿系统闸轨道的多重性，一般非线性系统仿射周期解的存在性以及平均场随机微分方程周期解的存在性问题。本项目使人们对具有对称结构的系统的动力学行为有了更加细致的了解。我们发展的关于旋转周期函数的指标理论也为在其它条件下证明旋转周期解的存在性和多重性提供了有力工具。