动力系统中的复杂性及相关问题的研究

In this project, we mainly concern the complexity and realated issues in dynamical systems. We will study the functions of measure complexity and Sarnak's conjecture, as well as entropy and restricted sensitivity. More precisely, .1). In the aspect of the functions of measure complexity and Sarnak's conjecture, we will introduce the functions of measure complexity . We expect to make progress in Sarnak's conjecture when the topological dynamical systems have low complexity. Meanwhile, we will investigate the functions of measure complexity of minimal distal systems. .2). In the aspect of entropy and restricted sensitivity, we will give definitions of restricted sensitivity in the topologic sense and measure-theoretic sense. We will give the relationship between the two definitions of restricted sensitivity as well as the relationship between entropy and restricted sensitivity..These studies will enable us to have an intensive understanding of the complexity and related issues in dynamical systems.

本项目关心动力系统中的复杂性及相关问题，主要致力于Sarnak猜想与测度复杂性函数、动力系统熵与限制敏感性这两方面内容的研究。具体而言，.1). 在Sarnak猜想与测度复杂性函数方面，我们将引入测度复杂性函数，进而期望对复杂度较低的拓扑动力系统，对Sarnak猜想取得进展；同时我们也将研究一般极小distal系统的测度复杂性函数；.2). 在动力系统熵与限制敏感性方面，我们将分别在拓扑和测度意义下分别给出限制敏感性的定义，并确定两种限制敏感性之间的联系，我们也将研究限制敏感性与熵之间的关系。..项目的这些研究将使人们对动力系统中的复杂性及相关问题有更深入的理解。

复杂性是动力系统研究的一个重要课题，本项目致力于Sarnak猜想与测度复杂性函数、熵与限制敏感性这两方面内容的研究。主要成果如下。..1). 在Sarnak猜想与测度复杂性函数方面。证明了光滑 special flow 的时间一映射在平均度量下的复杂性函数为次多项式，进而这样的系统满足Sarnak 猜想；平均测度复杂性函数有界等价于离散谱系统，但平均拓扑复杂性函数有限与等度连续系统不等价，我们依次构造了极小唯一遍历的例子、极小非唯一遍历的例子、弱混合的例子。..2). 在熵与限制敏感性方面。给出了限制敏感性更精细的定义，建立了限制敏感性与熵之间的关系；找到半马蹄的一个存在机制，证明了部分双曲系统存在半马蹄；对连续流引入加权测度熵和非紧集的加权拓扑熵的概念，建立了变分原理；研究非自治系统的熵理论，对于一个非自治系统，其拓扑熵和它诱导的概率测度空间上的系统的拓扑熵存在联系：当原系统的拓扑熵为零，则诱导系统的拓扑熵也为零；当原系统的拓扑熵大于零，则诱导系统的拓扑熵为无穷。..在研究过程中，我们引入了新的概念和性质，产生了新的思想和方法，对了解动力系统的复杂性有重要的理论意义。