旋转对称bent函数的相关问题研究

The study of nonquadratic rotation symmetric bent functions arises just in the past two years, but there are still many key problems need to be solved. The main work of this project is as follows : 1) So far, three classes of very particular rotation symmetric bent functions were constructed. This project will study how to construct even-variable rotation symmetric bent functions with arbitrary possible algebraic degrees and how to construct idempotent bent functions defined on the finite field. 2) This project will study how to construct odd-variable rotation symmetric semi-bent functions, and then by modifying the outputs of the rotation symmetric bent functions as well as the rotation symmetric semi-bent functions we will construct new rotation symmetric Boolean functions whose nonlinearities are higher than the nonlinearity of semi-bent functions, satisfying the first-order resilience and other cryptographic properties; 3) The nonlinearities of the known rotation symmetric Boolean functions with optimal algebraic immunity are too low. This project will study how to modify the supports of the functions we get above to construct new rotation symmetric Boolean functions with optimal algebraic immunity, whose nonlinearities are very close to the nonlinearity of bent functions.

关于代数次数大于2的旋转对称bent函数的研究这两年才开始起步，还有许多关键的问题需要解决。本项目的主要工作是：1）到目前为止，据我们所知已经构造出了三类非常特殊的旋转对称bent函数，本项目将继续研究任意可能代数次数、任意偶数变元的旋转对称bent函数的构造方法以及有限域上的幂等bent函数的构造方法；2）研究奇数变元的旋转对称semi-bent函数的构造方法，然后通过修改前面所构造的旋转对称bent函数以及旋转对称semi-bent函数的支撑集来构造非线性度比semi-bent函数的非线性度还高的旋转对称布尔函数，并且满足1阶弹性等密码学性质；3）现在已知的具有最优代数免疫度的旋转对称布尔函数的非线性度都太低了，本项目将通过修改前面这几类函数的支撑集来构造具有最优代数免疫度的旋转对称布尔函数，而且保证非线性度能够充分接近bent函数的非线性度。

旋转对称bent函数、2-旋转对称bent函数、以及有限域上的幂等bent函数都是具有重要研究意义的布尔函数。然而，在之前的文献中并没有构造出对变量个数不限制的旋转对称bent函数或代数度超过4的旋转对称bent函数.在本项目的研究中，我们分别给出了任意偶数n≥4时的三类bent函数的系统构造方法。最值得一提的是，我们可以很容易地构造出n变量旋转对称bent函数和2-旋转对称bent函数使得它们的代数次数可以在2到n/2的灵活取值，他们的对偶函数也同时被确定了。此外，我们还得到了具有最大代数次数达到最大值的幂等bent函数。然后，对于任意的偶数n，我们又给出了一种新的具有最大代数次数n/2的n变量旋转对称bent函数的构造，该旋转对称bent函数的代数正规型的表达式特别简单。同时，它的对偶函数也被确定了。最后，我们基于整数拆分的思想，给出了两种新的奇数个变量以及偶数个变量的具有最优代数免疫度的旋转对称布尔函数的构造。我们构造的旋转对称布尔函数与现有的具有最优代数免疫度的旋转对称布尔函数相比，具有更高的非线性度。此外，在某些情况下，我们的旋转对称布尔函数的代数次数也足够高。