（随机）稳定性及其速度估计

This project belongs to a cross-research direction of probability theory and computational mathematics. With a variety of stochastic stability as the cornerstone, the multi-class stability of linear and nonlinear cases is studied, which includes both theoretical and numerical algorithms. In the various local algorithms and the global optimization theory, the initial value problems are well-known classic problems. There are both reliable background and very wide applications. The typical representative topic is the maximal eigenvalue and the corresponding eigenvector of the matrix, their estimation and efficiency of the algorithm. Finally, the typical probability models of continuous branching process and non-equilibrium statistical physics are discussed, and their stability is analyzed, including qualitative and quantitative research.

本项目属概率论与计算数学的交叉研究方向。以各种随机稳定性为基石，探讨线性和非线性情形的多类稳定性，既包含理论估计，也给出数值算法。特别尽力解决在各种局部算法和全局最优化的初值问题，这些都是熟知的经典难题。既有可靠背景，又有极广泛的应用。其中的典型代表是矩阵的最大特征值与相应特征向量的基本估计和髙效算法。同时探讨连续型分枝过程和来自非平衡统计物理的典型概率模型，分析它们的各种稳定性，包括定性和定量研究。

在计算方面取得全面进步。对于复三对角阵，使用来自随机数学的耦合思想，算法达到最优。对于近乎非负矩阵，提出配称化方法及两种拟对称化技术(也源于随机数学)，引进通用算法，并经改进、扩充，不仅可处理主成分分析，还可高效计算百万阶的稀疏矩阵的前6个特征对。引进可厄米矩阵和微分算子理论。由此提供量子力学的新架构、新谱论与新算法。对华罗庚经济优化理论给出修正版本和新算法、给出带跳随机积分方程的边界行为判准准则及离散逼近、流入速度、指数遍历速度估计等、得到了离散的加权p-Laplacian的逼近定理和逆迭代算法。得到了连续时间马氏链的非遍历性、非指数遍历性以及非强遍历性的判别准则，并应用在若干多维粒子系统模型。. 应当指出：这些探索开启了若干值得继续进一步深入研究的窗口。