一维动力系统的Julia集及其不变子集的维数与熵

动力系统是基础数学的一个重要分支，一维动力系统是动力系统的一个重要研究方向，主要研究黎曼球面上有理函数和区间、圆周上连续函数的迭代。本课题旨在研究一维实和复动力系统的Julia集及其不变子集的分形性质和动力系统性质。首先我们将以Julia集上的共形测度为工具，考察实和复Julia集的Hausdorff维数、盒维数、双曲维数等相等的条件；其次我们将进一步考察新近发展起来的principle nest等研究工具，利用它们研究区间映射Cantor吸引子的组合与动力学性性质，包括估计Cantor吸引子的熵维数和序列熵；而且我们还希望考察principle nest的几何衰减规律与区间映射绝对连续不变测度存在性的关系，并讨论相应测度的测度熵。希望通过上述研究，我们能够对一维实和复Julia集的分形性质和动力学性质的区别和联系有新的认识，对区间映射Cantor吸引子的动力学行为复杂性有新的了解。

本项目研究一维动力系统的Julia集及其子集，特别是Cantor不变子集的动力性质。我们研究了Cantor吸引子的动力系统复杂性，证明其熵维数为零，而且存在序列熵大于零的Cantor吸引子，推广了Blokh_lyubich, Bruin-Volkova等的相关结果；我们证明了具有Cantor吸引子的单峰映射是随机稳定的，给出了新的不具有双曲或非一致双曲的随机稳定的例子；我们还研究了一维复系统的非一致双曲性，证明了逆向压缩条件与大导数条件是等价的。