杨-米尔斯流中的奇点问题研究

The global existence and convergence of the Yang-Mills flow has drawn much attention. It is known that in dimension 2 or 3 the Yang-Mills flow, over a compact Riemannian manifold, exists for all time and converges to a Yang-Mills connection; however if the base manifold has dimension five or above, The Yang-Mills flow can develop a singularity in finite time. It is unclear yet whether the Yang-Mills flow over a four-dimensional manifold develops a singularity in finite time. In our previous work we showed that the Yang-Mills flow cannot develop a singularity of Type-I. In this project, we will continue studying the existence of Type-II singularity of the Yang-Mills flow in dimension 4. Furthermore, inspired by Colding and Minicozzi's work of the mean curvature flow, we will study the classification of F-stable homothetically shrinking solitons.

杨-米尔斯流的整体存在性和收敛性是几何流里一个有意思的问题，引起很多人的关注。我们知道2维和3维紧流形上的杨-米尔斯流是整体存在的，并且收敛到杨-米尔斯联络；而对于5维以上的杨-米尔斯流，在有限的时间内我们知道能存在奇点，所以关于其奇点的分析对于杨-米尔斯流的研究具有很大意义。4维紧流形上的杨-米尔斯流的整体存在性至今还不清楚。在我们前面的工作中，我们知道杨-米尔斯流的第一类奇点是与熵稳定、F-稳定紧密联系的，并且我们从F-泛函的一阶变分证明了4维杨-米尔斯流中不存在第一类奇点。本课题将继续我们之前的工作，研究4维杨-米尔斯流的第二类奇点的存在性问题，即4维杨-米尔斯流的整体存在性和收敛性；同时由于杨-米尔斯流与平均曲率流的相似性以及Colding-Minicozzi关于平均曲率流的工作的深刻性和启发性，我们在本课题中将继续研究高维杨-米尔斯流的第一类奇点，尝试对F-稳定性进行分类。