非对称分数阶系统的混沌理论及控制新方法研究

Fractional-order system with memory effect has more abundant dynamics compared with traditional dynamic systems. But the research of dynamics and control for the fractional-order system is still in its youth. Based on the nonlinear dynamics and modern control theory, the aim of this project is focused on the chaos property for the incommensurate fractional-order system and its new control method. Through the study of bifurcation and chaotic behavior for incommensurate fractional-order system, one will explore the routes to chaos, clarify the effect of differential order on dynamical evolution, describe the characteristic for chaos state and indicate the essential difference with corresponding integer order system. We continue to develop the stability theory of fractional-order non-autonomous system and make simple chaos criterion. Then the influence of different non-feedback control signal on the chaotic behavior for fractional-order system has been discussed. On these bases, the parameter range may be defined and its interior mechanism could be interpreted from dynamic theory viewpoint. This work attempts to put forward different strategies for achieving robust control in the presence of different types of external disturbance. Finally, one will probe entrainment control theory for fractional-order system and propose combinatorial control approach to accomplish precise control for given target orbit. Stated thus, this project not only enriches the chaos theory and analytic method for the fractional-order system, but also can provide the theory basis for practical engineering.

具有记忆效应的分数阶系统较之传统的动力学系统具有更丰富的动力学特性，但对其动力学与控制的研究尚处于初始阶段。本项目结合非线性动力学理论和现代控制理论，研究非对称分数阶系统的混沌特性及其控制新方法。通过研究非对称分数阶系统的分岔及混沌行为，探索分数阶系统通向混沌态的途径，阐明微分阶次对系统动态行为演化的作用，刻画分数阶系统混沌行为的特征，揭示分数阶系统与整数阶系统混沌运动的本质区别。发展分数阶非自治系统的稳定性理论，提出简单易行的混沌判据。在此基础上，研究不同类型非反馈控制信号对系统混沌行为的影响，确定可实现混沌控制的参数范围，并从动力学理论上解释其内部机理。对不同类型外界干扰下的分数阶混沌系统，尝试提出不同方法实现鲁棒控制。探索分数阶系统的输运控制理论，提出组合控制方法实现对目标轨道的精确控制。本项目不仅能丰富分数阶动力系统的混沌理论和分析方法，也可为实际工程应用提供理论依据。

作为经典微积分的推广，分数阶微积分具有非局部性、记忆效应、幂律等特性，因此利用分数阶微分方程建模能更有效地描述一些实际系统的复杂现象。近十多年来，分数阶微积分理论已逐步应用于科学和工程领域并凸显其独特优势，成为当下的热点研究领域。. 针对分数阶非线性系统的混沌行为及其控制方法，本项目开展了以下几方面的研究工作：.(1) 通过对分数阶类Lorenz系统、分数阶Genesio-Tesi系统及分数阶四维忆阻器局部稳定性的深入研究，发现了叉式分岔及跨临界分岔现象。根据Routh-Hurwitz准则及分数阶稳定性理论，结合数值仿真详细讨论了系统参数及微分阶次对系统动力学行为的影响。研究表明无论对称或非对称分数阶系统中都存在倍周期分岔通向混沌的道路，同时微分阶次的影响使得分数阶系统具有更丰富的动力学行为。.(2) 分别采用线性反馈、自适应反馈及滑模变结构技术实现上述分数阶系统的混沌控制。对于更一般的分数阶非线性系统，提出一种分数阶自适应反馈控制方法，同时基于Lyapunov定理及Barbalat引理给出了严格的理论证明。该方法不仅可以控制混沌态至不稳定平衡点，还可以实现对称和非对称分数阶系统的混沌同步。进一步，将此方法推广至不确定分数阶混沌系统的追踪控制，控制目标可拓展为嵌入在奇怪吸引子中的任意状态及有界轨道。.(3) 采取增加新状态变量的方法研究了典型分数阶非自治系统的稳定性及混沌行为。分别采用外加周期函数、随机函数及共振参数摄动法，通过调节外加激励的振幅与相位实现分数阶非自治系统混沌态的控制。上述方法不需要获取系统状态的任何信息，并且控制目标可以为系统固有的不稳定周期轨道。.(4) 为增加控制目标的多样性，建立了分数阶混沌系统的输运控制模型。根据目标轨道的动力学性质及局部稳定性理论，给出了受控系统稳定的必要条件。为提高受控系统的抗干扰性，讨论了开环加闭环控制作用下分数阶混沌系统的输运控制问题。. 相对于整数阶混沌系统及其控制理论，分数阶动力系统相关理论的研究还处于发展阶段且具有较大的挑战性，现阶段有很多问题值得进行深入的讨论与探索。