分数阶导数对流-弥散方程参数识别的多重精度高斯过程回归算法

Fractional advection-dispersion equation (FADE) is a crucial mathematical model in describing solute transport through porous and fractured media. Identification of model parameters (such as fractional derivative orders) plays an important role in prediction and control of groundwater pollution. Most of the fractional-order identification studies, however, focus on the time-fractional ADE, and little is reported on the parameter identification for the space-fractional ADE. On the other hand, the high computational cost for solving the forward problem of the FADE presents a serious challenge to the solution of the inverse problem. In the project, we base our study on a probabilistic machine learning algorithm, called multi-fidelity Gaussian process regression algorithm, which can be employed to solve the linear integro-differential equation. Based on the algorithm, we construct the surrogate models for the forward and the inverse problems, in order to realize the long-time simulation of the forward problem defined on a large spatial domain, and also to develop the fast method for identifying the fractional derivative orders, the contaminant source location as well as the source release history. The key scientific problems to be solved include fast training for massive data, reliability enhancement of multi-fidelity models, and uncertainty transfer within coupled surrogate models. Unlike the conventional numerical methods, the algorithm does not depend on the discretization of the governing equation and the initial/boundary value conditions, and can adaptively construct the highly accurate surrogate model and reduce the training set size using the multi-fidelity formulation. The new algorithm will shed new light on the parameter identification of the fractional advection-dispersion equation.

分数阶导数对流-弥散方程是描述多孔裂隙介质中溶质输运的重要数学模型，模型中分数阶导数阶数的识别对地下水污染的预测和治理具有重要的意义，一直是研究热点。然而，目前的研究集中在较简单的时间分数阶导数模型上，空间分数阶导数模型的研究很少有报道。另一方面，由于正问题求解的计算量大，反问题求解变得更加困难。本项目拟基于一种求解线性积分-微分方程的概率型机器学习算法——多重精度高斯过程回归算法，建立正问题和反问题的代理模型，实现大尺度长时间历程的模拟；发展时间-空间分数阶导数模型中分数阶导数阶数、污染源位置和释放历史等参数的识别算法。拟解决的关键问题为大训练样本的快速学习、多重精度的可靠性增强、二次代理模型间不确定性的传递。新算法能够避免传统数值方法对控制方程离散和初边值条件的依赖，自适应地构造高精度的代理模型，并利用多重精度缩小训练样本的规模，为分数阶对流-弥散方程的参数识别问题提供新的解决方案。

准确且快速地识别偏微分方程模型中的参数能够使模型更好地发挥描述和预测物理力学过程的作用。譬如，在地震反演中，识别声波或者弹性波方程的波速（或密度）能够有效推断地下岩层的几何结构和物理性质；在固体内部缺陷的无损检测中，识别弹性体运动方程中的弹性模量以及内边界的几何形状参数能够推断出固体内部是否存在缺陷以及缺陷的个数、尺寸和形状等几何特征。在地下水污染物输运的分数阶导数建模中，识别方程模型的分数阶导数阶数能够扩大模型的适用范围。本项目研究参数识别的机器学习方法，包含两类典型方法：高斯过程回归和神经网络。参数识别和机器学习都需要大量数据，数据包括实验室或实地观测数据以及数值模拟结果。这些数据的获取可能需要较高的时间和经济成本。为尽可能降低数据获取成本，本项目采用两种策略：（1）利用多重精度框架，快速生成精度不同的大量数据；（2）将方程模型本身作为数据拟合的正则化子，与无正则化的情况相比，所需要的数据量大幅下降。在方法层面，基于策略一，发展了多重精度高斯过程回归方法；基于策略二，发展了神经网络诱导的高斯过程回归方法和适用于微分和积分方程的物理驱动神经网络方法。在应用层面，将多重精度高斯过程回归方法用于分数阶对流-弥散方程的参数识别，识别的参数精度要高于现有文献；首次将物理驱动的神经网络方法用于分数阶对流-弥散方程以及Couette湍流分数阶导数模型和非局部算子模型的参数识别。所研究的两类机器学习方法均是一般连续函数的全局逼近子，可以逼近任意连续函数，因此可以很好地处理不光滑的（或有大时空梯度的）观测或数值模拟数据。此外，机器学习方法是数据驱动的，不过分依赖于计算网格和初边值条件；因而，这类方法的编程相对简单，而且在不完全知悉初边值的条件下也可以识别参数。