特征标次数的表征对有限群结构影响的若干研究

The character theory of finite group is a powerful tool to study finite groups. Many meaingful and exciting results have be gotten by investigating the set of irreducible character degrees to characterize finite groups. Write G for a finite group and cd(G) the set of irreducible character degrees of G. In this project, by using the tool of character degree graphs, combined with the knowledge of Galois theory, we plan to descirbe (*)-groups, which satisfy (*)-condition---- given any two elements m and n belonging to cd(G), then m divides n, or n divides m, or (m, n)=1. Firstly, we descibe and classify (*)-groups G with ︱cd(G)︱=4. Secondly, for(**)-group G which is another class of (*)-group, we prove G is solvable and then determine its structure. Thirdly, we show Taketa''s inequality is hold for any (*)-groups.

特征标理论是研究有限群的有力工具，利用有限群不可约特征标次数的集合来刻画有限群的结构，已经产生了许多具有重要意义的结果。设G为一有限群，记cd(G)为G的所有不可约特征标次数所构成的集合。本课题拟以特征标次数图为工具，借助于Galois理论，对满足(*)-条件“设a，b为cd(G)中的任意两个元，其中a<b。若a与b非互素，则a整除b” 的有限群（简称为（*）-群），进行刻画。具体地，一是对具有4个不可约特征标次数的(*)-群进行完整的分类；其二，对不可约特征标次数绝大程度上互素的(*)-群，研究其可解性，并进一步确定其结构；最后，对一般的(*)-群验证Taket不等式成立。

本课题主要研究基于特征标次数特征的有限群的性质与结构，基本完成了项目的预期目标。设G为一有限群。记cd（G）为G的所有复不可约特征标次数所构成的集合。借助于一般线性群，Galois理论，以特征标次数图为工具，刻画了以下两种群的结构。一是对满足“cd（G）\{1}中的元均至少含有两个不同的素因子”的群G进行刻画。一方面，得到这类群的特征标次数图是连通的；并对满足上述条件且“cd（G）\{1}中的元含有相同的素因子”的群G给出了充分必要条件。另一方面，对满足此条件的临界群做了深入的考察，得到此类群或者其特征标次数图是完全图或者其导长不超过3. 在对此类群研究的基础上，构造了一类满足“特征标公因子图为完全图但cd（G）\{1}中的元无公共素因子”的群。二是对满足“特征标次数或者互素或者整除”的有限群进行研究。先是利用非连通群的分类结果，对cd（G）中的元素按照整除关系排序后有多于一个极大元的有限群作了完整分类。其次，对满足此条件且cd（G）中含有4个元素的群G进行考察。证明了此时G可解并得到cd（G）的一些限制条件。最后，刻画了导长为4时该类群的结构。