基于动力系统的L1范数矩阵低秩分解及其应用研究

矩阵低秩分解在计算机视觉等领域蕴藏着巨大应用价值，用两低秩矩阵乘积逼近一给定矩阵。L1范数下的矩阵低秩逼近抗噪能力强，适应性好，但尚无有效方法保障逼近结果全局最优，甚至也不能保证局部极优。为进行L1范数下的矩阵低秩分解，本研究拟根据给定矩阵设计基于动力系统计算模型，在动力系统演化到稳定状态时，从系统变量获得两低秩矩阵，其乘积逼近给定矩阵；分析动力系统的演化行为并改进其模型，使得两低秩矩阵的乘积在L1范数下局部或全局最优逼近给定矩阵；分析模型收敛速度，引入控制参数以调节两低秩矩阵乘积对给定矩阵的逼近性能和模型的收敛速度。集成阶段性研究成果，设计收敛速度和优化结果可随应用需求动态调节的适合计算机视觉应用背景的L1范数矩阵低秩分解模型及其实现算法，并结合计算机视觉应用对算法性能进行比较分析与评价。

用两低秩矩阵乘积逼近某一给定矩阵，在计算机视觉等领域蕴藏着巨大应用价值。L1范数矩阵分解方法的研究，涉及不同矩阵范数的性能、微分动力系统、自动控制系统收敛性等问题的研究，具有重要理论价值。同时，该方法可以处理存在缺失项、大量离群点的矩阵分解问题，对其进行深入研究，可以有效解决传统奇异值分解难以处理的问题，具有广泛的应用需求。本项目根据给定矩阵设计动力系统计算模型，在系统演化到平衡状态时，从系统变量获得矩阵低秩逼近的两个低秩矩阵。设计使用不同光滑函数逼近L1范数导函数的微分动力系统，并据此设计相应L1范数矩阵低秩逼近的目标优化函数，并进行严格理论分析与大量实验。研究成果表明，该系统具有优异性能，取得了理想的效果。同时，该系统具有更小的计算时间和内存需求，并能适应更大规模矩阵的计算需求，更为适合应用于计算机视觉领域中相关问题的求解。在此基础上，进一步使用mollifier对L1范数自身进行平滑逼近，使得此微分动力系统的性能进一步提升。为处理更大规模矩阵分解问题，引入随机分解方法，并取得相应成果。该方法大大减少运算时间和内存占用，达到国际一流水平。L1范数矩阵分解方法已被应用到计算机视觉中多个应用领域，包括从运动中恢复结构、多模态识别等，均取得了优异的成果。通过本项目的实施，共培养博士研究生5名、硕士研究生11名。在国内外重要学术期刊和国际会议上发表21篇高质量论文，其中SCI收录15篇。