超临界集中现象的精细爆破分析

Concentration phenomena is a typical phenomenon in nonlinear analysis, which appears in many problems such as harmonic maps, Yamabe problem and Yang-Mills fields. The blow up analysis of concentration phenomena produces far-reaching influence, which also plays a fundamental role in the application of these theories to geometry and topology. Concentration phenomena in supercritical dimensions exhibits some new features, which are closely related to generalized minimal submanifolds. Understanding supercritical concentration phenomena is fundamental for the application of higher dimensional gauge theory. A better understanding of these phenomena requires the introduction of many deep ideas from fields such as geometric measure theory. For the Allen-Cahn equation which describes phase transition phenomena and the Gingzburg-Landau equation which describes superconductivity, the famous De Giorgi conjecture on one dimensional symmetry of solutions involves higher order regularity of energy concentration set, which needs a refined analysis of the behavior and difference of energy concentration at different scales. In this project it is planned to develop a refined blow up analysis theory for supercritical concentration phenomena, and use this to solve the quantization problem on energy density function, higher order regularity problem of blow up locus. This will be helpful in deeping our understanding of concentration phenomena.

集中现象是非线性分析中的一个典型现象，在调和映射、Yamabe问题和Yang-Mills场等问题中都会出现。相应的爆破分析产生了诸多影响深远的结果，也是这些理论在几何、拓扑中的辉煌应用的基础。超临界维数时集中现象又表现出了更复杂的行为，其与广义极小子流形等有深刻的联系。理解超临界集中现象在高维规范场等理论中也起着基本性的作用。为了更好地理解这些现象需要引入并发展几何测度论等方面的诸多思想。在描述相变现象的Allen-Cahn方程、描述超导现象的Ginzburg-Landau方程等问题中，奇异扰动极限中也会产生能量集中现象，而关于解的对称性的De Giorgi猜想等问题则与爆破轨迹的高阶正则性有关，并需要理解能量集中在不同尺度上的表现与差异。本项目计划发展关于超临界集中现象的精细爆破分析理论，由此解决能量密度函数的量子化、爆破轨迹的高阶正则性等关键问题，从而推进我们对集中现象的理解。

集中现象是变分法中一类典型的紧性丢失现象，并且与偏微分方程解的奇异性（尤其是解的爆破）等问题密切相关。该现象，特别地临界情形时的集中现象，自从1980年代开始就受到了广泛而深入地研究。本项目则主要研究超临界情形时的能量集中现象及其精细爆破分析问题，包括Allen-Cahn方程、反应扩散方程等非线性椭圆、抛物型偏微分方程中的能量集中现象。具体而言，（1）对Allen-Cahn方程，通过发展反向李雅普诺夫-施密特约化方法等技巧，我们建立了多重过渡层的一个比较完善的二阶正则性理论，并将其运用于高维时具轴对称、有限Morse指标的解的分类，我们还得到了Allen-Cahn方程的半空间定理、分析了一个带自由边界的相变模型在平面上具有4个端（end）的解的几何与定性性质；（2）对一类描述生物扩散现象的反应扩散方程，我们研究了其全空间解及行波解的分类问题，尤其是与Hamel-Nadirashvil猜想相关的一些问题以及关于相变波前（transition front）的几何、定性性质方面的问题。相关结果分别发表在Advances in Mathematics（2篇）、Transaction of the American Mathematical Society、Journal fur die reine und angewandte Mathematik（Crelle Journal）、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées（Liouville Journal）等期刊。