生成高维可积方程族的代数方法

It has been an important topic to search for new integrable systems and investigate their algebraic and geometric properties.es in soliton theory. This project focuses on the algebraic methods for generating higher-dimensional integrable hierarchies of evolution equayions and on the algebraic and geometric properties of the associated reduced equations.The contents involved in the project contain three problems as follows: 1. By introducing the Lie algebras of higher-degree square matrices, new higher-dimensional integrable hierarchies and the resulting Hamiltonian structures will be engendered under the frame of various reductions of the self-dual Yang-Mills equations. 2. Through the operator Lie algebras related to the multi-parameter Lie groups of tarnsformations, new integrable hierarchies will be obtained via the self-dual Yang-Mills equations. 3. Search for higher-dimensional integrable hierarchies and the associated Hamiltonian structures by constructing new Lie algebras consisting of higher-degree square matrices under the Fokas-Tu algebraic recursion scheme. 4. Search for new discrete integrable hierarchies and the associated Hamiltonian structures.

寻求新的可积系统并研究它们的代数与几何性质一直是孤立子理论的重要研究课题之一。本项目重点探讨高维可积方程族的代数生成法以及约化方程的代数与几何性质，研究内容包括以下几方面：1.引进高阶方阵李代数，由自对偶的Yang-Mills方程的不同约化方程寻求新的高维可积方程族及其哈密尔顿结构；2.利用已知方程的多参数李群相应的算子李代数，结合自对偶的Yang-Mills方程寻求新的可积方程族；3.构造高阶方阵李代数利用Fokas-Tu代数递推格式，寻求高维可积方程族及其哈密尔顿结构；4.将上述代数方法推广到高维离散可积系统。

本项目研究内容主要有以下几方面：.首先，在高维微分方程生成方面，我们采用了7种方法，分别是自对偶的YM方程的约化法、FT代数递推法、多参数李群的李代数法、组合计数法、齐次空间里代数分解法、BRR方法、R-矩阵法。利用这些方法研究了高维微分方程族和相应的哈密尔顿结构、守恒律，等性质。我们改进了已有的二次型恒等式，得到了生成2+1维可积方程族的哈密尔顿结构的2+1维扩展迹恒等式。R-矩阵法中，我们选取适当的算子由Lax方程生成新的可积方程族；在计算哈密尔顿结构方面，采用Casimir函数的变分展开法。我们提出的BRR方法是Magri的二项式表示法的改进，利用组合公式的逆公式，将哈密尔顿算子对的递推关系简单地表示出来。利用组合公式将Miura-Gardner-Kruskal递推序列的子列的生成函数及其系数表示出来，通过组合公式将KdV方程的守恒密度规范化。另外，利用多参数变换群的李代数和子代数生成可积方程族。由齐次空间代数法我们推广了Fordy和Hulish的关于薛定谔方程的有关结果。.其次，在离散可积方程族的生成及其有关性质研究方面，我们采用非等谱线性方程，由其相容性条件得到了高维方程族及其哈密尔顿结构、守恒律、达布变换，等。利用R-矩阵法，通过Lax方程得到了高维离散可积方程族，其哈密尔顿结构由Casimir函数的变分展开式求得。利用代数曲线理论，我们得到了一类广义Toda格方程系统的代数几何解。.另外，利用李群分析法，我们得到了一些高维方程的对称、相似约化、Backlund变换、无穷守恒律，等性质。利用改进的黎曼Theta函数法，得到了高维方程的周期波解。利用Bell多项式法得到了微分方程的Lax对、双线性形式、Backlund变换，等。构造二维欧式空间的叉积空间定义换位子，使它成为列向量李代数，引进适当的谱问题，应用屠格式得到了系列多分量可积方程族，并用二次型恒等式求得了它们的哈密尔顿结构。.本项目研究期间，发表国内外学术期刊论文37篇，其中SCI检索论文35篇；出版专著1部，科学出版社，2014年。