拟共形映射的稳定性理论与应用

This project mainly deals with the metric theory of space mappings, especially, the stability theory of quasiconformal and quasi-isometry mappings with applications in the modern mapping theory. Firstly, in several typical domains, the distortion of an arbitrary point in the domain and the image of the point under quasiconformal mappings which preserve boundary values will be studied，it my provide a better technique for resolving the Teichmuller problem in these domains. Secondly, sharp Lipschitz property of quasihyperbolic metric under quasiconformal mappings in Euclidean spaces will be considered, and the quasi-invariance of quasihyperbolic metric under quasiconformal mappings will be generalized to metric measure spaces, Thirdly, the sharp inclusion relations between conformal invariant metric balls and Euclidean balls are going to be investigated, and isometries of hyperbolic-type metrics will be characterized. Finally, by studying the quasihyperbolic geometry in the punctured and twice-punctured space, the uniqueness and the prolongation of quasihyperbolic geodesics will be presented, the growth of quasihyperbolic volume of quasihyperbolic balls will also be estimated，and the analytic and geometric properties for the solutions to Ramanujan's modular equations and for the related quasiconformal special functions are given. This project covers several mathematical fields, and its expected results can be widely applied.

本项目主要研究空间映射的度量理论，特别是拟共形映射和拟等距映射的稳定性问题及其在现代映射理论中的应用。首先，在几类典型区域上，研究区域中任一点及其在保持边界点不变的拟共形映射下的像点之间的偏差，为解决这一类区域上的Teichmuller问题提供新的技术。其次，在欧氏空间中研究拟双曲度量在拟共形映射下精确的Lipschitz性质，并将拟双曲度量在拟共形映射下的拟不变性质推广到一般的度量测度空间中。再次，研究共形不变度量球和欧氏球之间的精确球包含关系，进而刻画双曲型度量的等距映射。最后，研究单穿孔和双穿孔空间中的拟双曲几何，获得一般区域上的拟双曲测地线的唯一性和可延长性，估计拟双曲球的拟双曲容量增长，并将研究成果应用于Ramanujan模方程理论，给出Ramanujan模方程的解及其相关拟共形特殊函数的分析和几何性质。本项目交叉、综合性强，并具有广阔的应用前景。

拟共形映射是共形映射的自然推广，拟共形映射的稳定性问题及其在现代映射理论中的应用是现代复分析研究领域中的热点问题。稳定性理论的主要内容之一是研究拟共形映射的偏差，即估计极大伸缩大于1的拟共形映射到“最近的”Mobius映射的距离，而映射的度量理论的中心问题之一是研究各种共形不变度量和共形不变量在映射下的改变。. 本项目以空间映射的度量理论为主题，重点研究该主题所涉及的拟共形映射和拟等距映射的稳定性问题及其在现代映射理论中的应用。具体研究内容如下：（1）高维空间凸域、有界域和具有一致完全边界的区域中任一点及其在保持边界点不变的拟共形映射下的像点之间的偏差。（2）欧氏空间中拟双曲度量在拟共形映射下精确的Lipschitz性质，一般的度量测度空间中拟双曲度量在拟共形映射下的拟不变性质，共形不变度量球和欧氏球之间的精确的球包含关系以及双曲型度量的等距映射。（3）拟双曲几何中拟双曲测地线的唯一性和可延长性以及拟双曲球的容量增长估计问题。（4）Ramanujan模方程的解和拟共形特殊函数之间的内在联系。. 在本项目的研究中，我们获得了以下重要结果：. (1) 在空间凸域、有界域和具有一致完全边界的区域上，给出了保持边界点不变的拟共形映射在一点处的渐近精确的偏差估计，为高维Teichmuller问题的有效解决提供了技术支撑。. (2) 获得了拟双曲度量在拟共形映射下精确的拟不变性质，改进了Gehring和Palka的经典结果，进而将Gehring和Palka的经典结果推广到了一般的度量测度空间上，给出了几类双曲型度量等距映射的本质刻画。. (3) 建立了双曲几何中拟双曲测地线的可延长性和唯一性条件，给出了拟双曲球的拟双曲容量增长的精确估计，系统刻画了拟双曲球的凸性。. (4)澄清了Ramanujan模方程的解和拟共形特殊函数之间的本质联系，给出Ramanujan模方程的解及相关的拟共形特殊函数的系列分析和几何性质。. 上述研究内容和所获得的研究成果具有很强的学科交叉性和综合性，并具有广阔的应用前景。