非线性抛物双曲耦合方程组的可解性问题

Many important physical model can be reduced to nonlinear parabolic-hyperbolic system, for example, compressible Navier-Stokes, shallow water flow equation,compressible nematic liquid flow equation etc. Since there are strongly nonlinearities, strongly coupling , degeneracy and singularities in the systems, the study of the global solution to these systems are very difficulties, otherwise the studies are very interesting and attract many mathematicians. In this project, we aim to adopt the classical theory and new techniques, which were developed in the studies of nonlinear degenerate parabolic equations as well as harmonic and geometric analysis to study some mathematical problems of parabolic-hyperbolic system, for example,to study the existence of global solution for compressible Navier-Stokes equations with general initial data and the singularities of weak solution; to study the existence of solution for N-S equation with density-dependent viscosities; to study the global existence of solution and large-time behaviour of solutions for the compressible nematic liquid crystal flows; to study the existence of solutions for the Prandtl's boundary layer system,etc.

许多有重要物理背景的数学模型可归结为非线性抛物-双曲方程组， 如来自流体力学的可压Navier-Stokes方程、磁流体方程、向列型可压液晶流方程、浅水波方程等。 由于方程组中的强非线性、强耦合性、以及出现真空或质量集中时方程产生的退化性和奇性， 使得这类问题的整体可解性研究变得极具困难； 另一方面也使对这些问题的研究在数学上有很大的挑战性， 长期以来吸引了许多数学家的关注和兴趣。本项目拟从数学理论研究的角度出发，利用近年来逐步完善的非线性退化抛物、椭圆理论以及调和分析、几何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的抛物-双曲组的可解性问题， 如：具一般初始条件的可压Navier-Stokes方程整体强解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性系数依赖密度的可压N-S方程整体可解性问题； 研究Prandtl边界层方程的可解性问题； 研究磁流体方程以及向列型可压液晶系统的整体可解性问题。

本项目主要研究了以可压Navier-Stokes方程为背景的非线性抛物双曲耦合方程组的可解性问题。 研究的内容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整体古典解的存在性问题；研究Cauchy问题局部解和整体古典解的存在性问题， 其中包括一维和高维在各种不同条件下的可解性问题；研究粘性系数依赖密度的可压Navier-Stokes方程的可解性问题。研究和Navier-Stokes方程相关的磁流体方程的一些问题。项目基本按照预先制定的计划有序的进行，取得一些有意义的成果； 如在有界域上证明了Navier-Stokes方程在初始小能量假设下存在整体光滑解， 对粘性系数依赖于密度的Navier-Stokes方程证明了局部古典解的存在性， 对任意初始条件的Navier-Stokes方程当粘性系数在一定范围内证明了Cauchy问题存在整体光滑解。这些成果受到国内外同行的关注。 由于拟研究问题的复杂性，该项目有一些的预定研究目标没有得到满意的结果， 如可压Navier-Stokes的第一边值问题的整体适定性问题； 粘性系数依赖于密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等问题，这些都是今后继续研究的问题。