有限域上代数簇的指数和

本项目研究有限域上的代数簇的指数和，包括p-阶、p的方幂阶指数和及T-进指数和。对p的方幂阶指数和，我们研究其L-函数的p-进牛顿折线，对T-进指数和，我们研究其C-函数的T-进牛顿折线。对一般情形，我们希望能对其牛顿折线找到一个优于Hodge下界的下界,这个下界将由指数和中的多项式的首项的指数构成的牛顿多面体的顶点和素数p同时给出。对特殊情形，我们希望得到更精确的下界，这个下界将不仅仅由指数和中的多项式的首项的指数构成的牛顿多面体的顶点刻画，还将由指数和中的多项式的次高项的指数构成的牛顿多面体的顶点刻画。.我们还将研究有限域上的代数簇的指数和在代数簇的zeta函数的计算上的应用。我们希望进一步发展雅可比方法，使得指数和可以显式地表示更为广泛的代数簇的zeta函数。具体地，我们将定义对角型基变换，证明对角型基变换的zeta函数可以用相对简单的指数和的L-函数来表达。

一、研究了指数和的牛顿折线、素数方幂阶指数函数的指数和。.对于多变元的多项式的指数和的牛顿折线，我们找到了一个普适的优于Hodge的下界。对于单变元的多项式的指数和的牛顿折线，我们找到了一个普适下确界及一些亚普适下确界。对于素数方幂阶指数函数的指数和，在单变元的情形，我们也找到了一个普适下确界及一些亚普适下确界。我们证明了同一个多项式的所有素数方幂阶指数函数的指数和同时达到Hodge下界、依赖于特征的最优普适下确界或其他亚普适下确界。另外， 我们推广了Jacobi方法，并成功地用于研究对角提升型指数和。.二、研究了指数和在纠错编码理论和模形式上的应用。.我们用二次型的关联矩阵构造了一类Low-density parity-check码，并在低维情形计算了这类码的维数。我们在一类由Dedekind eta-函数构造的模形式中把其中系数希梳（等价于带复乘）的模形式决定出来了。我们还计算了一类具有算术意义的模形式系数的在一些同余类中的比例。