有限域上代数簇的指数和与L-函数及其应用

In the theory of Diophantine equations it is a central problem to study rational points on varieties. For the number of rational points on a variety over ?a finite field, it can be expressed in terms of exponential sums. So the study of rational points on varieties is reduced to the study of exponential sums. The L-functions associated with such exponential sums contain rich information about arithmetic and geometry of the varieties. The degrees of polynomials in the variety play a crucial role in the estimates of exponential sums and the p-adic Newton polygon of L-function. But there are few literature about the effects of changes in degrees (especially degree reductions) on the latter two. The objects of this project are the exponential sums and the associated L-functions, with focus on the effects of degree reductions on estimates of exponential sums and p-adic Newton polygons of L-functions. We also plan to consider the applications to cryptography and coding theory, in which we will analyze the potential safety risk on Multivariate Public Key Cryptosystem (MPKC) caused by "Degree-Reduction" transformation (which may equivalently turn a system of seemingly complicate polynomials into a simpler one) and will provide theoretical bases for designing a more secure MPKC.

代数簇上的有理点问题是丢番图方程的中心问题. 而有限域上代数簇的有理点个数可以通过指数和表示出来，从而将对代数簇上有理点的研究归结为对指数和的研究.与这类指数和密切相关的L-函数，蕴含了重要的算术与几何信息. 代数簇中多项式（组）的次数在指数和的估计及L-函数的p-adic牛顿多边形中占据着重要地位, 但已有文献中关于次数变动特别是降次对后二者的影响并不多见. 本项目的主要研究对象是有限域上代数簇的指数和及其L-函数，重点研究降次对指数和估计及其L-函数的p-adic牛顿多边形的影响。同时，我们还将探索上述研究成果在密码学和编码中的可能应用，分析降次变换（即把看似复杂的多项式组等价变为简单的多项式组）对多变量公钥密码系统（MPKC）可能造成的安全隐患，为设计更加安全的MPKC提供数学理论依据.

本项目主要研究有限域上代数簇的指数和与L-函数以及与之相关的一些问题。研究成果主要体现在五个方面：(1) 得到了有限域上一类代数簇的L-函数的具体表达式，推广了万大庆等人的结果；(2) 研究了有限域上Carlitz方程及其推广形式的解数问题，对Baoulina的结果给出了一个简单的证明；(3) 研究了有限域上费马曲线的有理点，解决了Zieve提出的一个问题；(4) 给出了有限域上多变量多项式的值集的一个上界，改进了Mullen、Wan 和 Wang 等人的相关结果；(5) 发现了有限域上一类超曲面有理点的个数公式，推广了孙琦等人的结果。此外，还研究了有限域上指数和的P-adic估计、代数簇的zeta-函数以及有限域上的正规基与不可约多项式等问题。项目组成员共发表（含接收）16 篇学术论文，其中8篇被SCI收录。