帐篷空间上的算子理论

In this research project, we aim at building up a "general" but also "satisfying" singular integral operator theory on tent spaces. More precisely, here "general" means that the kernel associated to the singular integral operator in question may not be of convolution type in the time variable and may only satisfy certain localized integrated off-diagonal decay conditions; meanwhile, "satisfying" here means that under proper conditions on the kernel, there is an effective mechanism to obtain the optimal extrapolation results on tent spaces. The motivation of building up this operator theory on tent spaces comes from solving complex valued rough coefficient elliptic boundary value problems and parabolic evolution problems. At the same time, given that the tent space is the right containing space of the harmonic extension of a Hardy space fucntion, this theory will also help us understand further the singular integral operator theory on Hardy and Lebesgue spaces in classical harmonic analysis.

在此研究项目中我们期望建立一个“一般”而又“理想”的帐篷空间上的奇异积分算子理论。更具体地来讲，这里的“一般”指的是，所考虑的奇异积分算子的核在时间变元上不一定是卷积型的且在空间变元上仅满足局部的积分型衰减性条件；与此同时，这里的“理想”则指的是，在给定的关于核的适当条件下，能够有一套有效机制用于得到最优的帐篷空间上的外插结果。我们期望发展这套帐篷空间上的算子理论的动机源自于解复值粗糙系数椭圆边值问题和抛物发展问题。同时，考虑到帐篷空间是Hardy空间中函数的调和扩张的自然载体空间，这套理论也将有助于我们进一步理解经典调和分析中的Hardy和Lebesgue空间上的奇异积分算子理论。

在帐篷空间上的算子理论方面本研究得到了两个新的结果。具体地说来，本研究给出了帐篷空间上的奇异积分算子的Calderón-Zygmund理论，得到了帐篷空间上的一般奇异积分算子的帐篷空间弱型有界性；建立了定义在一般齐型空间（包括流形与度量图）上的帐篷空间其上的一般奇异积分算子的Fefferman-Stein理论。但帐篷空间上的Calderón-Zygmund理论作为一个标准的borderline theory，它虽然可以完全地得到以往我们所知的（主要由P. Auscher教授及其合作者所发展的）逐点估计或原子分解方法下的结果，但从很多方面看，我们不难发现这并不是reasonable的理论。譬如，该理论下extrapolation的结果并不是最优的。在发展方程方面的应用还有待于进一步研究。.在相关调和分析问题上我们也获得一些结果。具体来讲，本研究将Foschi解决三维空间中单位球面上的伴随Fourier限制性问题中的一个二次泛函最优界推广到了所有的高维球面；用一阶方法给出了Keller等人局部有限图上的离散Hardy不等式的一个更为简洁且直接的证明。但如何将高维球面上Foschi泛函最优界的结果有效地应用到Foschi伴随限制性结果的高维推广仍是未知的。同时，关于离散的Rellich不等式我们已取得一些部分结果，目前仍在修改完善中。这些尝试将为后续度量空间上的分析做铺垫。