非线性变分理论的若干前沿课题

变分法是国际上数学研究的重要领域，研究对象是具有变分结构的非线性微分方程。这些方程来自数学物理、生物工程、经济理论等科学领域，具有重要的理论和应用背景。本项目整合创新资源，拟应用极大极小方法、Morse理论、指标理论、分歧理论、极小化方法等变分和拓扑方法研究非线性变分问题中若干前沿课题；利用局部凸拓扑建立形变，发展强不定泛函的临界点理论；研究非线性Dirac方程、半线性薛定谔方程（组）、拟线性椭圆型方程、Hamilton系统等具有变分结构的微分方程解的存在性、多重性、解的类型、解的分析性质、几何性质、拓扑性质。通过对这些课题的研究，为变分理论的发展注入新内容、创造新思想、新方法，力争在非线性分析理论与应用中有重要突破。

摘要.项目集中团队的整体力量，获得了1项突破性成果、解决了2个公开问题、及取得了多项重要成果。已正式发表论文60余篇，投刊或整理中论文多篇。 论文被引用率显著提升，据美国数学会MathSciNet网站显示，2008/07/05 — 2013/02/18项目组成员（6人）论文被引用2150次：2008/07/05统计数1170次、2013/02/18统计数3320次，即:【4年半增量2150次】 > 【之前多年数1170次】。.非线性迪拉克方程半经典解的存在性与集中现象研究取得突破性成果。 薛定谔和迪拉克系统是量子力学的两个基本数学模型。为描述量子力学过渡到经典力学，量子系统的半经典解具有重要的物理意义。多年来非线性薛定谔方程被广泛研究，成果斐然。相较而言，因迪拉克算子的上下方都是无界的本质谱，所以迪拉克问题半经典解的存在性与集中现象研究十分困难，“在变分学中具有挑战性”，受到人们的特别关注，但长期没有类似结果。 我们这方面的工作是突破性的，证明了最小能量半经典解的存在性，分别描述了集中于非线性位势的最大点集、线性位势的最小点集、及竞争位势间的适当集合等的现象；并指出当空间变量适当移动后这些半经典解趋于极限方程的最小能量解。研究中，我们发展了强不定问题的临界点理论，如强不定泛函的Mountain-Pass导出、Nehari技巧的延伸等。特别，首次引入了“强不定二次型最佳嵌入常数”，它对于强不定问题如同Sobolev 嵌入常数之对于二阶PDE一样有着同等的基础性作用。.Lotka-Volterra竞争方程组和自由边界问题研究取得重要进展。解决了数学家 S. Terracini 关于Bose-Einstein 凝聚态薛定谔方程组的公开问题: 两个态的Bose-Einstein 凝聚态方程组的解的差的极限满足一个极限方程；证明了Terracini猜想：奇异竞争极限方程组的解具有最小能量。.推进了拟线性问题的研究。特别是获得: Monge-Ampere 方程研究新进展; 椭圆算子的Fucik谱与非线性薛定谔方程的多解、变号解新成果; 一个更弱光滑性下的隐函数存在性定理的建立；建立了一系列径向函数空间带权Sobolev型嵌入定理，研究了带权非齐次拟线性椭圆问题径向解的存在性；在一类扭转非线性条件下，获得了有界区域上非线性椭圆型方程和椭圆型方程组多个解的存在性等。