函数值分布与公共值若干问题研究

项目主要研究亚纯函数值分布和公共值的下列问题: 第一、与著名的Hayman猜测密切相关的一类函数值分布问题及相应的正规定则；第二、亚纯函数惟一性理论中著名的1CM+3IM是否等于4CM的问题；第三、亚纯函数与其导数的公共值与不动点问题，特别是Brück猜想以及仪洪勋提出的涉及多个导数的公共值问题。多年来，这些问题一直受到国内外学者的关注和重视，是函数值分布和惟一性理论研究的重要内容和发展动力，但它们已很难仅利用亚纯函数的Nevanlinna理论研究解决。本项目致力于将具有共同理论基础的复微分方程和正规族理论与这些问题结合起来研究，把函数公共值问题转化成复微分方程解的增长及渐近性质、对数导数以及零点和极点的分布来研究，开拓新的研究方法。这对复分析的发展、探索和促进不同数学分支间的交叉都很有意义。

本项目的研究计划与目标已经完成。项目组成员在国内外学术期刊共发表论文6篇，其中被SCI收录3篇；另有1篇论文即将在《中国科学》期刊上发表。具体成果如下：.1、关于特殊函数类的值分布.（1）若超越亚纯函数 f 的零点和极点重数满足一定条件，则 $f^{(k)}f $（k>2）取任何非零有限复数无穷多次。在此基础上，我们将此结果做了两个方面的推广。首先，将非零有限复数推广到 f 的小函数情形；其次，将 $f^{(k)}f $推广到了非齐次微分多项式情形。并在这些情形下，建立了相应的函数族的正规定则。.（2）对于平面区域 D 上的亚纯函数族 F 中的每一个函数 f ，如果$f^{2}f^{(k)}$（k>1）不取某个非零全纯函数，并且 f 的零点重数满足一定条件，则 F 在区域 D 上正规。.2、关于函数及微分多项式的公共值.项目组深入研究了与函数公共值问题密切相关的几类复微分方程解的增长性质、零点和极点分布，证明了几个重要结果。这些结果不但可以用于研究函数公共值问题，也丰富了亚纯函数正规族理论。此外，我们利用有关 Nevanlinna 理论的差分形式的最新成果，研究并证明了相关复差分方程解的性质。这些结果有助于进一步研究差分形式的函数公共值问题。