不可压Navier-Stokes和MHD方程组的对流项与第一类奇点的研究

This project will research on the regularity and type I singularities of the Navier-Stokes and MHD system, which are hot topics in physics and partial differential equations. First, we study the fine properties of horizontal and full convective terms, the method is splitting, consolidating and transferring with patience; then establish some bilateral multiplicative Sobolev inequalities. This will effectively tackle each function in the nonlinear terms according to their dimensions. On the other hand, the fact that functions can be dominated by their partial derivatives will enrich the theory of PDEs. With this, we could consider the well-posedness of MHD system with partial viscosity or with fractional dissipation. Second, we study the type I singularities, and try to show that the Navier-Stokes equations could only develop a singularity through slow blow-up. This may improve the axisymmetric case.

本项目拟研究物理学与偏微分方程的热门问题—不可压 Navier-Stokes 和磁流体方程组的正则性和第一类奇点. 首先, 对非线性对流结构的性质进行探讨, 在 “水平”和 “整体” 两个方面进行耐心且细心地分拆, 整合, 化归, 获取其优良性质, 进而构建新型双边乘积型 Sobolev 不等式, 一方面, 可以根据非线性项中各个函数的 “维数” 进行自适应的有效处理, 使得各个函数的可积可微性之间可以相互调配, 达到所设想的指标平衡; 另一方面, 某些函数可由其部分偏导数控制, 这丰富了偏微分方程本身的发展, 利用它, 可以探讨带分数阶或带部分粘性的磁流体方程组的适定性. 其次, 对第一类奇点进行分析, 试图通过建立正则性准则来确定第一类奇点的不存在性, 推广轴对称情形时的结果.

本项目拟研究物理学与偏微分方程的热门问题—不可压 Navier-Stokes (简称 NSE) 和磁流体方程组 (简称 MHD) 的正则性和第一类奇点. 共计发表了 SCI 收录论文 29 篇, SCI 引用 48 次, 获 2017 年江西省自然科学奖三等奖. 主要研究结果有: 获得了 NSE 关于速度在负指数齐次 Besov 空间的准则, 全面改进了 Serrin 与 Beirao da Veiga 的准则; 上述结果还推广到了一般维数, 任意阶耗散的情形. 在部分分量准则方面, 彻底改进了 Kukavica 与 C.S. Cao 关于速度一个方向偏导的准则; 获得了关于速度一个分量, 旋度相应分量的准则, 完全回答了 Penel 与 Pokorny 的一个开问题; 获得了更精细的双边乘积型 Sobolev 不等式, 改进了 C.S. Cao 与 E.S. Titi 关于速度一个分量在一个方向的偏导的准则; 充分利用速度一个分量的临界 Serrin 准则, 将 C.Y. Qian 的结果范围扩大到尽可能大; 获得了更多的双边乘积型 Sobolev 不等式, 得到了关于速度模长平方的一个二阶偏导的 Serrin 准则; 将我们在 2011 年的结果推广到高维情形; 获得了轴对称 NSE 的一个更好的先验准则; 获得了轴对称 NSE 更多的关于速度/速度梯度一个分量的最优准则, 推广了 H. Chen, D.Y. Fang, T. Zhang 的结果; 获得了轴对称 MHD 对流项的优良性质, 进而获得了仅关于旋度角向分量的最优准则; 获得了 MHD 关于速度在 Besov 空间中的对数型改进准则, 关于解的两个分量的改进型准则; 考虑带阻尼的 MHD, 获得了特定指标时的整体适定性; 考虑带霍尔效应的 MHD, 获得了关于旋度的 Besov 改进型准则; 发展了在齐次 Besov 范数下的改进型 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 应用到 ghost effect system, 液晶系统, 准地转, 微极流体动力学模型中, 得到了 Besov 改进型准则.