随机动力系统中熵结构与热力学形式的研究

The thermodynamic formalism for random dynamical systems is the crucial content in the research of dimension theory and multifractal analysis in random dynamical systems. The theory of entropy structures established in the deterministic dynamical systems has been a key tool in the field of the thermodynamic formalism. Requirements are proposed for the theory of entropy structures as the development of the thermodynamic formalism in random dynamical systems. This project is the combined study of the entropy structures and the thermodynamic formalism in random environment. We will conduct the research on the theory of the thermodynamic formalism through the constructed entropy structures in random dynamical systems. The applications of the thermodynamic formalism in the field of random fractals, such as the Bowen formula of the noncompact random topological pressures, multifractal analysis, etc., will also be considered. This research will be helpful for people further understanding the complexities of dynamical behaviors and geometric structures of random dynamical systems.

随机动力系统的热力学形式理论是随机动力系统中维数理论和重分形分析研究中的重要内容。在确定性动力系统中建立的熵结构理论是确定性动力系统热力学形式研究的重要工具。随机动力系统中热力学形式的发展为随机动力系统熵结构理论的建立提出了要求。本项目是随机动力系统的熵结构与热力学形式理论的结合性研究。运用随机动力系统中建立的熵结构理论研究随机热力学形式，并注重其在随机动力系统的维数理论，如随机非紧拓扑压的Bowen方程和重分形分析等问题研究中的应用。本项目的研究有助于加深人们对随机动力系统动力学性态的复杂性和几何结构的复杂性认识。

随机动力系统的热力学形式理论是随机动力系统维数理论中的重要研究内容。动力系统熵结构理论的发展为随机动力系统热力学形式理论研究提供了有效的研究工具。本项目结合熵结构理论与热力学形式理论两个方面开展研究。在不添加限制条件的情形下给出了上半连续次可加位势拓扑tail压与熵结构间的变分原理，利用经典的Katok公式，建立了与Katok熵结构相关的次可加上半连续位势拓扑tail压的变分原理。给出了随机动力系统的相对拓扑tail熵与乘积随机动力系统的任意不变测度的相对测度熵的上半连续亏值间的变分不等式，建立了基于开随机覆盖的随机拓扑tail熵的变分原理，证明了随机动力系统的相对tail熵为任意主扩张不变量。随机动力系统的相对拓扑tail压和次可加位势的相对拓扑tail压的相关结论也一并给出。确定性动力系统的平均拓扑维数作为描述无限维空间的动力系统和无穷正熵系统的重要共轭不变量，在拓扑动力系统的嵌入理论，算子代数理论和巨型系统复杂性的定量描述研究中发挥重要作用。本项目为随机动力系统引入随机平均拓扑维数，从而为无限正熵随机动力系统赋予新的确定性量，证明了随机平均拓扑维数是随机动力系统的同构不变量，引入随机小集和随机小边界性等概念，证明了有限正熵随机动力系统，唯一遍历随机动力系统和具有小边界性的随机动力系统的平均拓扑维数为零。本项目的研究结果将有助于加深人们对随机动力系统动力学性态的复杂性和几何结构的复杂性认识。