非线性抛物方程有限体积元方法的理论研究及应用

We study the numerical methods and its applications of the finite volume element method for the nonlinear parabolic equations. We will study the existence and uniqueness of the solution of the finite volume element method for the nonlinear parabolic equations and prove that the numerical solution of the finite volume element method for the nonlinear parabolic equations exists and is unique under some conditions. With the two-grid algorithm, we construct the two-grid finite volume element method for the nonlinear parabolic equations and study the priori error estimates, posteriori error estimates and the adaptive algorithm. When we solve the nonlinear parabolic equations with convection-dominated term, the numerical dispersion and nonphysical oscillations may appear. In order to avoid such numerical dispersion and nonphysical oscillations, to ensure the accuracy and efficiency, we will propose the characteristic and the upwind two-grid finite volume element method and study the priori error estimates, posteriori error estimates and the adaptive algorithm. Finally, we will study the applications of these algorithms in the numerical model of semiconductor device simulation. The results of the research will provide several high efficient methods for the nonlinear parabolic equations, further improve the theoretical system of the finite volume element method, and also bring an efficient numerical method for the numerical simulation of semiconductor device.

本项目主要研究非线性抛物方程有限体积元方法的理论及应用。研究非线性抛物方程有限体积元方法数值解的存在性和唯一性，证明在一定条件下非线性抛物方程有限体积元方法的数值解是存在唯一的。结合两重网格算法研究非线性抛物方程的有限体积元方法，进行先验误差估计、后验误差估计和自适应算法研究。针对求解具有对流占优性的非线性抛物方程，为避免数值弥散和非物理震荡，保证计算精度和提高效率，拟采用特征线方法和迎风方法，提出特征和迎风两种两重网格有限体积元方法，并进行先验误差估计、后验误差估计和自适应算法研究。最后，研究这些算法在半导体器件数值模型中的应用。本项目的研究成果将为非线性抛物型方程提供几种高效的数值解法，进一步完善有限体积元方法的理论体系，并为半导体器件的数值模拟提供一种高效的数值方法。

本项目主要以非线性抛物方程、二阶双曲方程为基本模型，以有限体积元方法、有限元方法为工具，从格式构建、理论分析、计算实现三方面出发，（1）研究了非线性抛物问题有限体积元方法的两层网格算法，该方法将非线性问题转化为仅在粗网格上求解非线性问题，在细网格上求解原问题相应的线性问题，大大减少了计算工作量，提高了计算效率，同时又保持了算法的精度。（2）研究了非线性对流扩散方程及非线性双曲方程的两层网格有限元方法，在保持计算精度的前提下，大大提高了计算效率。（3）研究了抛物方程和二阶双曲方程有限体积元方法的后验误差估计，构造了简单易算的残量型后验误差估计子，并证明了后验误差估计子的有效性。本项目研究进一步完善了有限体积元方法的理论体系，为有限体积元方法的自适应算法打下了基础，为非线性抛物方程及双曲方程的应用提供了高效的数值解法，可以应用到相应的物理、工程等实际问题中去。