发展方程的新型间断时空有限体积元格式构造及理论研究

In this projection, the temporal and spatial variables are unified and the whole space-time region is discretizated into primal and dual grids domain. The trial function space and test function space in sense of space-time are defined on two (primal and dual) grid domain, respectively. Then, a new space-time discontinuous finite volume element scheme, which takes full advantages of the finite volume element method in both space and time dirctions, is constructed to solve evolution type differential equations. The optimal error estimates of the numerical solution and the temporal jump terms and the super-convergence at the point of time steps are studied by means of introducing a transfer operator in sense of space-time and applying the coercive property of the bilinear forms in the scheme and the stability analysis of the dual problem. Numerical expriments are presented to confirm the effectiveness of the schemes. Further, an adaptive mesh refinement algorithm is developed by means of super-convergence patch recovery technique. Compared to existing finite volume element methods, this method considers the temporal and spatial variables simultaneously, achieves high accuracy and high resolution in both the temporal and spatial variables. It also can adopt a large time step and is easy to implement adaptive algorithm. Compared to space-time discontinuous finite element methods, this method using volume elements, not only simplifies calculation, reduces workload but also maintains local conservation. Therefore, the research on this method is of improtance value in theory and in actual application in numerical soving the time-dependent problems.

本项目将统一时间和空间变量，对时空域整体进行原始和对偶网格剖分，并在两套（原始和对偶）网格域上分别定义时空意义下的试探函数空间和检验函数空间，构造一种新型间断时空有限体积元方法，使其格式在时空两个方向同时发挥体积元法的优势，用于发展型微分方程。通过引入一种时空意义下的迁移算子，利用格式中双线性形式的一致椭圆性和对偶问题的稳定性分析，研究数值解和时间跳跃项的最优误差估计以及时间剖分点处超收敛性，给出数值算例，验证格式的有效性。进一步，利用超收敛单元片梯度重构技术，实现自适应网格局部加密算法。相比现有有限体积元法，该方法统一时间和空间变量，实现了时空两个方向的高精度、高分辨率并且可以采用大时间步长，便于设计自适应算法。相比间断时空有限元法，该方法采用体积元，不仅简化计算，降低工作量，而且能保持局部守恒性。因此，该方法的研究在数值求解时间依赖问题中具有重要的理论意义和实际应用价值。

许多刻画数学物理问题的发展型偏微分方程的解析解都很难得到，因而研究其数值近似解具有重要科学意义。在求其近似解的众多数值方法中时空有限元法是将时间和空间变量统一考虑，在时空两个方向同时采用有限元技术的方法。本项目在时空两个方向同时采用有限体积元技术，即对时空域整体进行原始和对偶网格剖分，在两套（原始和对偶）网格域上分别定义时空意义下的试探函数空间和检验函数空间，构造了一种新型数值方法，使其格式在时空两个方向同时具有体积元法的优势。通过定义一种时空意义下的迁移算子，利用格式中双线性形式的一致椭圆性和对偶问题的稳定性分析，取得了数值解和时间跳跃项的最优误差估计以及时间剖分点处超收敛估计，并用数值算例，验证了格式的有效性。进一步，提出了基于单元正交分析的新理论，取得了分片 q-1 次多项式逼近解在时间节点上的 2q-1 阶超收敛估计和时间跳跃项的 q 阶误差估计。相比现有有限体积元法，该方法统一时间和空间变量，实现了时空两个方向的高精度、高分辨率并且可以采用大时间步长，便于设计自适应算法。相比时空有限元法，该方法采用体积元，不仅简化计算，降低工作量，而且能保持局部守恒性。因此，该方法的研究在数值求解时间依赖问题中具有重要的理论意义和实际应用价值。