微分-差分方程的对称群分类和可积性研究

本项目主要研究微分-差分方程的对称群分类和可积性：①研究微分-差分方程的内禀Lie点对称群分类，推广优化系统方法来约化、求解方程；对于其中得到的具有广义Virasoro对称子代数的方程，研究如何系统地推广非内禀的条件对称方法来导出B?cklund变换，进而研究它们在特定意义下的可积性。 ②研究微分-差分方程的条件Lie－B?cklund对称分类，构造泛函变量分离解和泛函不变子空间解并分析解的性质；③研究微分-差分方程的势对称分类，构造相应的精确解，并对某些特殊形式的非线性方程构造映射线性化。.　　本项目所讨论的问题具有深刻的物理背景，研究成果将在一定程度上丰富方程的对称群理论，对解释某些物理现象能提供重要的参考。

本项目已经完成，主要得到如下的成果：.[1] 建立了任意阶微分-差分方程的对称群分类理论。首先从连续的高阶方程的Lie点对称群分类入手，给出了任意阶拟线性型方程的低维群分类。然后针对三阶微分-差分方程的内禀Lie点对称群分类问题，给出了完整的低维分类结果，进而把该分类方法推广到任意阶的微分-差分方程和方程组上。阐明了包含有各种可积系统如Toda格方程，Volterra格方程的等价类。.[2] 建立了非线性发展方程组的条件Lie-Backlund对称的最大维数估计理论。首先从平面动力系统出发讨论了在某些自然的约束条件下的维数的最优估计，然后讨论了若干具体方程如Ito型、Drinfeld-Sokolov-Wilson型和Whitham-Broer-Kaup型方程的不变子空间分类和解的爆破、熄灭和渐近行为，最后把维数估计推广到若干强约束条件下的多维方程组。该方法也可用来讨论微分-差分方程，势系统和势对称分类问题。.[3] 给出了证明Hardy型和Rellich型不等式的一个直接方法，构造了新的加权的联系Grushin型算子的Lp空间上的Rellich型不等式。.上述成果主要以6篇SCI论文的形式发表。. 项目组成员共参加了10次国内外相关的暑期学习班和学术会议。. 项目组邀请到了印度国家科学院院士K.M.Tamizhmani、著名应用数学家屠规彰教授、上海大学张大军教授、华东师范大学陈勇教授和美国得克萨斯泛美大学冯宝峰教授来校作学术报告和交流。. 项目组于2013年8月18日至22日联合同济大学数学系举办了“第五届非线性数学物理国际会议暨全国第十二届可积系统学术研讨会”。. 已经招收2名应用数学研究生从事可积系统研究，其中已经毕业1名研究生。