可积差分方程的构造和可积性质研究

Integrable difference equations may be in a sense more fundamental and complicated than continuous ones and their integrable theory is developing rapidly. In this project, we construct novel integrable difference equations and establish integrable properties of integrable differnce equations. The studies mainly focus on: 1) constructing novel multicomponent integrable difference equations and their integrable properties; 2) establishing relationship among Lax pair，symmetries, conserved laws and integrals; 3) investigating integrable deformations and discretizations of finite-dimensional integrable systems; and 4) exploring integrable theory and discretizations of finite-dimensional supersymmetric integrable Hamiltonian systems. Our research will enrich the mathematical theory of integrable systems and deepen the understanding to integrable difference equations.

可积差分方程比连续可积方程更基本、结构更复杂，其可积数学理论正快速发展中。本项目将构造新的可积差分方程和研究可积差分方程的可积性质。主要研究内容有：1）构造多组份可积差分方程和研究它们的性质；2）建立差分方程的Lax对、对称、守恒律、积分之间的关系；3）研究有限维可积系统的可积形变和离散化；4）研究有限维超可积Hamilton系统的可积理论和离散化。通过本项目的研究，希望进一步丰富可积系统学科的数学理论，深化可积差分方程的理解。

本项目围绕新的可积离散方程的构造和可积性质的研究开展了一系列的研究，获得的成果主要有：1）提出“跳”的技巧，构造了双组份的ABS格，证明这些系统是多维相容、有Lax表示和Bäcklund变换；2）发现了一系列新的多组份或高维的具有Peakon解类Camassa-Holm方程，得到含一个任意函数的有peakon解的2分量可积系统、一个含有三次非线性项并具有peakon解的3分量的系统和一个(2+1)维的Camassa-Holm方程；3）研究了约束mKdV流的Bäcklund变换的Rosochatius形变，获得了一个新的可积辛映射。证明该系统具有Lax表示并给出了它的不变量。该工作表明约束mKdV流的Bäcklund变换的Rosochatius形变就是Rosochatius形变后的约束mKdV流的Bäcklund变换，即Bäcklund变换和Rosochatius形变可交换；4）发现Rosochatius形变来自于 sl(2,C)李代数的不同实现，提出从已知的sl(2,C)李代数实现构造新的实现的算法，得到了多次Rosochatius形变的有效算法，证明有限维可积系统的可进行多次Rosochatius形变；5）提出了基于Bäcklund变换的可积系统的离散化方法。证明了适当的Bäcklund变换的应用可将方程的关于空间变量的偏导数项取代为差分项，由此得到空间变量离散化的微分差分方程族，直接沟通了连续可积系统与可积微分差分方程之间的关系；6）拓展了谱问题非线性化方法到sl(2|1)超李代数矩阵谱问题，获得新的有限维可积超（对称）Hamilton可积系统；7）构造了sl(2|1)超李代数下超KdV方程族的Darboux变换，发现了一个新的具有两个离散变量的超对称全离散的超（对称）全离散位势KdV方程；8）获得了一些连续的和离散可积系统的新的精确解。 研究成果丰富了离散可积系统的研究对象，提出了可积系统的一些新方法，沟通了各类可积系统之间的联系，深化了对可积系统的理解。