一维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的大初值整体光滑解

The compressible Navier-Stokes-Korteweg equations can be used to model the motions of compressible viscous fluids with internal capillarity and due to the high nonlinearities and the complex phenomena described by it, its mathematical theories provide some challenging problems for the mathematical community and thus it is one of the hottest topics recently. Although the results for the case of small initial perturbation are well-established, the corresponding results with large initial data are fewer. The study for the case of large initial data has much significance in both Physics and Mathematics. In the project, we will consider the global existence of smooth solutions with large initial data and the global nonlinear stability of the strong rarefaction waves, to the Cauchy problem of the one-dimensional isentropic compressible Navier-Stokes-Korteweg equations with density dependent viscosity and capillarity. We hope that such a study can shed some light on the study of the global well-posedness of solutions to the three-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg equations with large initial data.

可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程描述了一类具内部毛细作用的可压缩流体的运动规律，由于方程组的高度非线性性以及所描述现象的复杂性，关于它的数学理论的研究为数学工作者提出了许多具有挑战性的数学问题，因而是近年来本领域的一个研究热点。到目前为止，虽然对小初值的情形已经有了很完善的结果，但是对大初值的情形，相关的结果还不多见。大初值情形的研究在物理和数学上都具有重要意义。本项目拟研究当粘性系数和毛细系数依赖于密度时一维等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题大初值整体光滑解的存在性以及强稀疏波的整体非线性稳定性。 我们希望通过对上述问题的研究为讨论三维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的大初值整体解的适定性打下一些基础。

可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程数学理论的研究是近年来偏微分方程领域内的一个热点问题。本项目研究了当粘性系数和毛细系数均为流体密度的指数函数时，一维等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题的大初值、非真空光滑解的整体存在性以及大时间行为。利用基本能量方法并结合Y.Kanel的方法，我们得到以下两个方面的结果：1. 当初始值在无穷远处的状态相同时，我们证明了该方程在常数状态扰动下的大初值整体光滑解的存在性；2. 当初始值在无穷远处的状态不相同时，我们证明了该方程强稀疏波的整体非线性稳定性。