连续介质物理与力学和金融工程中的若干非线性扩散方程问题

The researches focus on the following topics: Firstly whether porous medium and fast diffusion equations with convection possess the properties of initial trace and Harnack's inequality, large time asymptotic behavior, source-type solution and its short time asymptotic behavior, asymptotic complexity and rate of convergence, asymptotic behavior of exterior solution, blow-up and extinction, known as the equations without convection. And some of similar problems would be discussed for the p-Laplace equations with convection；Secondly whether the logarithmic diffusion equations with convection have the properties of multiple solutions, regularity of solution with a measure as initial data, mass constraint, extinction and blow-down, known as standard logarithmic diffusion equations; Finally the three kinds of HJB equations of singularly stochastic control arising from the portfolio optimization under transaction, a jump-diffusion model of bond pricing and optimal decision for selling an illiquid stock are concerned with. The properties of well-posed, regularity of solution and optimal exercise boundary for these problems are studied. Based on the analysis of mathematical theory and the numerical simulation, the strategy of financial risk management is given.

本项目拟研究：主部为Newton渗流的对流扩散方程在退化和快扩散情形下初始迹问题，解的大时间渐近性和收敛率估计，点源奇性解的存在性和小时间渐近性，解的动力学行为和复杂渐近性，外解的渐近性和解的爆破与熄灭；主部为非Newton渗流的对流扩散方程在退化情形若干相关问题；主部为对数扩散的对流扩散方程的多解性，解的熄灭，质量强制和具测度初值解的正则性和奇性扩展；金融数学中具交易费多资产投资组合问题、双指数跳扩散模型下具有流动性风险公司债券的定价和具随机波动率大头寸股票最优清算策略等三类奇异随机控制HJB方程解的适定性和正则性，最佳实施边界的性质，定价的理论分析和数值模拟. 对金融市场风险管理提供科学依据.

其一，研究了若干典型的对流扩散方程性质：初始迹问题，解的大时间渐近性和收敛率估计，熵条件、点源奇性解和小时间渐近性，解的动力学行为和复杂渐近性，外解的渐近性和解的爆破与熄灭等，得到了一系列结果。特别是得到了源型解的不存在性结果，首次精确地诠释了对流扩散方程对流项与扩散项相互依赖、相互制约的物理规律；首次引入熵条件和熵解，解决了满足守恒律的非线性方程奇性解关键问题，其作为非常奇异物理解存在充分必要条件，从而建立这类方程非常奇异解适定性。.其二，研究了一类完备黎曼流形上非线性扩散方程解的性质和一类带权的Laplacian方程解的几何特性，分别得到了具有负下界的Bakry-Emery Ricci曲率的完备黎曼流形上非线性扩散方程解的梯度估计，并证明了当权函的数满足一定条件时，超定问题在某个有界光滑区域内有解，那么这个区域一定是欧氏空间中的球，进而建立了一类广义调和函数的平均值公式；特别是此平均值公式的提出，尚属首次。.其三，研究了若干非线性扩散方程自由边界问题、变分不等方程和奇异随机控制中HJB方程的性质，及其在金融工程中：具有资产重组公司债券定价和最佳违约边界，带有双指数跳风险和资产重组公司债券的定价，带跳的破产时间和违约资产重组公司债券的定价，经理期权整体实施与非限制实施的等价性，非限制实施永久经理期权最优实施策略，垄断性实施策略下可转债的定价等问题。.其四，数值计算和计算方法的研究：时间-空间分数对流扩散方程的快速求解法，GPHSS-GSOR迭代法求解奇异鞍点问题的半收敛性，约束条件为非稳态Burgers方程的优化问题的离散系统的有效求解等问题。.其五，应用有限差分、蒙特卡罗、广义矩估计方法、、P--样条、核估计方法等数值计算和数值模拟方法对Hull--White 短期利率模型中均值函数，具有自我激励机制跳的短期利率模型，基于厚尾及杠杆效应的随机波动率模型等进行了参数估计和统计推断，利用所得理论和数值结果对金融市场进行定性和定量的分析,为金融市场预测、预报和风险管理提供科学的依据。