多维离散信号的矩体表示及运算

项目的研究目标，是建立多维离散信号的"矩体表示及运算"理论，并用该理论解决多维离散信号的分割、压缩、识别等问题，以期取得较之现有方法更好的处理和识别结果。主要研究内容为：.① 定义矩体的运算规则；.② 矩体的初等变换、标准形和不变量理论；.③ 矩体的变换和分解理论；.④ 矩体数值计算理论及扰动分析；.⑤ 矩体表示及运算在视频信号、生物医学图象序列、高光谱数据等多维离散信号的分割、压缩、滤波、特征提取、模式识别等中的应用。

项目定义并研究了矩体的表示、运算及分解理论，取得的成果主要有：.1) 给出了矩体的严格定义，并定义了矩体的加法、数乘运算。鉴于矩体乘法是建立矩体理论的基础，给出了矩体乘法的定义。证明了矩体乘法具备矩阵乘法相似的性质，如乘法结合律、数乘结合律、分配律等。研究得出矩体乘法具有多维空间的几何意义和代数意义。.2) 给出了特殊矩体及相关定义：单位矩体、矩体的逆、广义逆、矩体的转置、偶、奇数体、方体、对角体、对称体、正交体。为便于矩体性质的研究，提出了矩体的完全展开、低展开和高展开的定义。将三维、四维甚至更高维的矩体空间映射到二维空间中，便于研究多维矩体的性质。.3) 提出了矩体的三种标量函数：矩体的秩、矩体的迹和矩体的范数。研究了三种标量函数的性质，发现三个概念与矩阵中该概念有着极强的相似性。定义了矩体的 维向量、矩体的 维秩和矩体的内积。.4) 提出了矩体的奇异值分解（SVD）。奇数维矩体SVD有两种形式，偶数维矩体SVD有一种形式。分析了矩体SVD在高维中的3种形式，实现了形式上的统一。提出了矩体奇异值、奇异矩体、截尾奇异值分解的概念。分析了矩体SVD的性质，矩体奇异值与范数的关系。对比了矩体SVD与矩阵SVD。研究了矩体SVD的扰动理论。提出并证明了矩体奇异值的稳定性、转置不变性、旋转不变性。提出了矩体的特征值分解。与矩体SVD不同，矩体特征值分解仅有一种形式。提出了矩体特征值和特征矩体的概念。分析研究了矩体特征值的性质。.5) 探究了矩体理论与Tensor理论的区别。从乘法的定义、乘法的意义、奇异值分解等几个方面分析了矩体理论的优势。从研究中看出，矩体乘法的定义更为合理，更具有几何、代数意义。矩体SVD得到的核矩体为对角体，得到的奇异向量更能反映原矩体的特征。.6) 仿真实现了矩体SVD的四个应用实例：基于矩体SVD的PSNR实验，基于矩体SVD的水印识别，矩体SVD与Wiener滤波的去噪比较，矩体SVD在人脸识别中的应用。分析比较了矩体SVD和Tucker SVD的识别效果。理论分析和数值试验的结果表明，就处理多维图像序列而言，矩体SVD会得到比矩阵SVD和Tucker SVD更好的处理效果。