相关于粗糙核奇异积分算子的若干问题

本项目研究粗糙核奇异积分算子及其相关算子，拟在核满足尽可能弱的尺寸条件下建立这些算子的有界性. 主要研究内容为：沿低维集的粗糙核奇异积分算子（包括各向同性和各向异性奇异积分算子及相应的极大算子、Marcinkiewicz积分算子等）在Lebesgue空间的有界性和弱型端点估计；粗糙核奇异积分算子簇的变分算子（variation operator）和跳跃算子(jump operator)在Lebesgue空间的有界性和弱（1，1）型估计；齐型空间中非光滑核奇异积分算子及其相关算子在Lebesgue空间和端点空间的有界性及加权有界性；欧氏空间及一般齐型空间中Besov型空间和Triebel-Lizorkin型空间的插值定理与T1型定理及粗糙核算子在其上的有界性. 这些结果将丰富和完善奇异积分理论，在偏微分方程、多复变函数等领域中有重要应用.

本项目围绕研究计划共完成研究论文32篇，其中在SCI刊物发表和接受发表25篇，在国内核心期刊发表7篇. 主要研究了如下五个方面的问题：1.研究沿低维集的粗糙核奇异积分算子及其相关算子（包括各向同性和各向异性奇异积分算子及相应的极大算子、Marcinkiewicz积分算子等），在积分核满足目前已知最弱的尺寸条件下建立了这些算子在Lebesgue空间、Triebel-Lizorkin空间和Besov空间的有界性；2. 研究带非光滑核的多线性奇异积分算子和分数次积分算子的交换子，建立了这些算子在多加权乘积Lebesgue空间的有界性；3. 研究奇异积分算子交换子算子族的变分算子和跳跃算子，建立了其加权有界性的一个判据，并给出了其若干应用；4. 研究齐型空间和非齐型空间中非光滑核积分算子有界性和某些函数空间的刻画，建立了齐型空间中带非光滑核的多线性奇异积分算子及其交换子在乘积Lebesgue空间的有界性，给出了非齐型空间中BMO型空间的若干刻画；5. 作为应用，研究了一些积分方程的解的存在性，给出了一类共形不变摄动积分方程正解存在的几个充分条件，及一类相关于弱型卷积Young不等式的积分方程不存在非负解的充分条件.