非线性边界条件下Schrodinger方程的拟周期解

KAM theory is an effective method to study the quasi periodic solutions of partial differential equations with Hamilton structure，and， it is a powerful tool to disturbance small divisor problem and conservative system. In this project, we study the quasi periodic solutions of nonlinear Schrodinger equation which is widely used in quantum mechanics. We discuss the existence of quasi periodic solutions of Schrodinger equation and Schrodinger equation with quasi periodic forcing potential under nonlinear boundary conditions. The nonlinear boundary conditions, which makes the problem more complicated. By transformation, the problem can be changed into a quasi periodic solution of the Schrodinger equation under the Dirichlet boundary condition, which is not fully solved by the higher order derivatives (unbounded perturbation ). In this project, we prove the existence of quasi periodic solutions by using Nash-Moser hard implicit function theorem and KAM method.

KAM 理论是研究具有哈密顿结构的偏微分方程拟周期解的有效方法，是处理小除数问题和保守系统扰动问题的有力工具。本项目主要研究在量子力学中有着广泛应用的非线性Schroding方程拟周期解的存在性。主要讨论非线性边界条件下，Schroding方程以及具有拟周期外力作用的 Schroding方程拟周期解的存在性。由于受非线性边界条件的影响，问题变的相当复杂。我们通过变量替换，把问题转化为在Dirichlet边界条件下，高阶导数未被完全解出（无界扰动）的Schrodinger方程的拟周期解问题。主要利用Nash-Moser硬隐函数定理以及KAM理论来证明拟周期解的存在性。

产生于20世纪50,60年代的KAM理论（Kolmogorov-Arold- Moser）是处理小除数问题和近可积系统的强有力的工具，人们主要用它来研究光滑或解析系统不变环面的存在性和线性稳定性。构造偏微分方程拟周期解是微分方程的重要课题之一，通过将有界扰动下的无穷维KAM理论应用到偏微分方程中，可以得到其不变环面以及相应的拟周期解的存在性。本项目中我们主要研究了以下内容：1、非线性边界条件下Schrodinger方程拟周期解的存在性,主要应用Liu-Yuang构造Toplitz矩阵及其指数分析技巧，对同调方程的解给出新的估计，最后应用Nash-Moser硬隐函数定理得到了非线性Schrodinger方程在非线边界条件下拟周期解的存在性。2、研究了分数阶Kuramoto-Sivashinsky方程的精确行波解，本项目主要是基于齐次平衡法和G’/G展开法的基本思想，提出了关于两个变量(G’/G,1/G)的函数展开法，进而得到分数阶Kuramoto-Sivashinsky方程的双曲函数形式的行波解、三角形式的行波解以及有理形式的行波解。 3、研究了奇异随机微分方程的依分布几乎自守解，证明的过程中主要利用线性算子的块对角形式及几乎自守系数在合适空间上的分解技巧，并假设该方程的系数是几乎自守的，利用Ito等距公式，我们可以得到该方程有依分布意义下几乎自守解。4、研究了具有无界摄动的Sawada-Kotera拟周期解的存在性,主要应用KAM定理以及Nash-Moser迭代技巧得到大参数下该方程拟周期解的存在性。5、研究了分数阶布朗运动驱动的带有Markov切换的随机时滞微分方程的稳定性，当Hurst参数H，满足1/2<H<1,利用Ito公式，通过构造合适的Lyapunov函数，对于这一类随机微分方程的稳定性给出了充分条件。