非线性二阶锥优化与互补问题的FB-型算法研究

二阶锥优化与互补问题是一类特殊的对称锥规划，然而它具有独立的理论研究价值，在工程设计、控制、金融、连续布局优化、鲁棒优化、以及组合优化等领域中有着广泛的应用．本课题拟开展对该问题的Fischer-Burmeister方程类型（简称FB型）算法研究：（1）探讨FB型方程算子的B-次微分、方向导函数、广义雅可比及其非奇异性；（2）探讨FB型效益函数的连续可微性、水平集有界性、稳定点的最优性、以及误差界性质；（3）建立相应的FB型非光滑和光滑化算法、并分析新算法的收敛性和收敛速率；（4）对新算法编写程序代码并进行数值实验．该研究成果不仅为求解二阶锥优化与互补问题提供一种实用有效的计算工具，而且还能够丰富其理论，具有重要的理论意义和应用价值．

本项目开展了二阶锥优化与互补问题的FB型算法研究，如期完成了项目原计划的研究内容，在FB型算法的理论及数值研究方面取得了一系列丰富的研究成果：（1）成功地刻画了FB型方程算子的B-次微分、方向导函数；刻画了光滑FB型方程算子在其零点处的B-次微分、方向导函数；针对一般非线性二阶锥优化，在强二阶充分条件及约束非退化下，建立了FB型方程算子的Clarke广义雅可比的非奇异性；（2）分析了参数FB效益函数和广义FB效益函数的连续可微性、水平集有界性、稳定点最优性、以及误差界性质；（3）基于FB型方程算子的B-次微分及Clarke广义雅可比的非奇异性，建立了求解二阶锥优化与互补问题的Gauss牛顿法、半光滑牛顿法、以及光滑化牛顿法；基于FB型效益函数的连续可微型、稳定点最优性、误差界等性质，建立了求解二阶锥优化与互补问题的效益函数法，并特别分析了一类无导数下降算法的全局收敛性和Q-线性收敛速率；（4）对算法编写了程序代码 (见math.ntnu.edu.tw/~jschen)，并应用标准的二阶锥规划考题和随机产生的例子测试了算法的有效性。特别地，所建立的半光滑牛顿法已被成功地应用于解决工程力学中的三维摩擦接触问题和弹塑性问题。. 作为本项目的延伸，我们一方面成功地刻画了FB矩阵方程算子的方向导函数和B-次微分，并针对一般非线性半定锥优化问题，在强二阶充分条件及约束非退化下，建立了其广义雅可比的非奇异性；另一方面，建立了FB对称锥效益函数的光滑性、水平集有界性、稳定点最优性、以及与NR对称锥效益函数的同阶增长性。. 本项目对FB型二阶锥和半定锥方程算子的方向导函数、B-次微分、以及Clarke广义雅可比的刻画不仅丰富了对称锥优化与互补问题的理论，而且FB型方程算子的非奇异性条件首次保证了FB型半光滑和光滑化牛顿算法在非严格互补条件下的局部超线性（或二次收敛）速率。另外，FB与NR对称锥效益函数的同阶增长性不仅回答了著名优化专家Paul. Tseng 在1998年提出的一个公开问题，而且还为建立FB型对称锥效益函数的全局误差界提供了一条可行途径。