指数样条的逼近理论及其在自适应信号分解中的应用

As the generalization of polynomial splines,exponential splines play a fundamental role in approximation theory and system theory. Exponential splines have many satisfactory approximation properties,and we can build a complete and self-contained signal processing formulation of exponential splines .The exponential spline present a unifying continuous and discrete approach to signal processing. Null space pursuit an operator-based approach to adaptive signal separation which was proposed in 2008 have received extensive attention in recent years. The operator-based signal separation approach uses an adaptive differential or integral operator to separate a complex signal into additive subcomponents of simple (local narrowband)signals, these simple signals are in the null space of the operator. The research of this project is the approximation theory of exponential spline and combining the exponential splines with the operator-based signal separation approach. First, we separate a complex signal into additive subcomponents of exponential splines, then we process these exponential splines. This project is a new attempt in the field of adaptive signal separation and a promotion of operator-based signal separation approach.

指数样条作为多项式样条的推广，在函数逼近论和系统理论中发挥着基础性作用，指数样条有很多令人满意的逼近性质，而且利用指数样条我们可以建立一个完整而且独立的信号处理系统，而且还把连续信号处理和离散信号处理紧密联系在一起。2008年提出的自适应信号分解方法- - 基于算子的零空间追踪算法近些年来受到了广泛关注，该算法通过定义一些参数化的微分或积分算子，把一个复杂信号分解成若干简单信号(局部窄带信号)的和，而这些简单信号在所定义的算子的零空间中。本项目研究内容包括指数样条的逼近理论研究和指数样条在信号分解领域的应用研究，把指数样条和基于算子的自适应信号分解方法相结合，通过对上述基于算子的自适应信号分解方法进行推广，把复杂信号分解为若干指数样条信号，再对指数样条信号进行处理，此研究内容是自适应信号分解领域的新的尝试，也是基于算子的自适应信号分解的推广。

本项目的研究内容属于数学与信号处理交叉的研究领域。我们研究了指数样条的逼近性质，并研究了指数样条在信号分解领域里的应用。我们深入探讨了信号分解算法——基于算子的零空间追踪算法。基于算子的零空间追踪算法是一种自适应的信号分解算法，此算法可以将输入信号分解为若干简单信号和剩余信号之和。对于任何一种信号分解算法来说如何定义简单信号都是至关重要的。例如EMD经验模态信号分解算法中的简单函数就定义为本征模函数。基于算子的零空间追踪算法中所定义的简单信号就是属于一个微分算子的零空间。我们通过提高微分算子阶数的方法将此算法进行推广和发展。根据由易到难的研究顺序，我们依次将微分算子的阶数由二阶提高到三阶、四阶和任意阶。随着微分算子阶数的提高零空间的范围逐渐扩大，可分解的函数类增多。我们通过一些具体的信号去噪和分解的例子说明随着算子阶数的提高零空间追踪算法的分解效果如何得到改进，并通过具体例子说明经过推广和改善后的零空间追踪算法与EMD经验模态信号分解算法相比的优势所在。在研究指数样条逼近性质方面，我们还研究了Mexican-Hat、Morlet函数，并将其作为激活函数与神经网络相结合，并将此小波神经网络应用到图像压缩和降雨量的预测方面。小波神经网络是小波分析和神经网络紧致型结合的产物，它是基于小波变换而构成的神经网络模型，即用非线性小波基取代通常的神经元非线性活化函数（如Sigmoid函数），把小波变换与神经网络有机地结合起来，充分继承了两者的优点。我们还通过改变基函数而改善图像压缩的效果和降雨量预测方面的准确度。在对基于算子的零空间追踪算法的深入研究中，我们发现算子的形式对可分解的信号类型和分解效果有很大影响。我们试图研究不同类型的算子，例如一些复杂的非线性的微分积分算子。研究由这些算子确定的方程的特征值和收敛性问题。我们还分析了一种可修复系统的可靠性，证明了这种系统的解的存在唯一性和指数稳定性。在本项目中，我们主要通过研究指数样条的逼近性质，将指数样条应用到信号分解和图像压缩等领域。通过提高微分算子的阶数，对基于算子的零空间追踪算法进行推广和完善。