Groebner-Shirshov 基，导出 Hall 代数及相关问题研究

The content of this project consists of following two parts: the first part study the Groebner-Shirshov basis (G-S basis for short) of several classes of Hall algebras which are recently developed, such as derived Hall algebras, Hall algebras of complexes and motivic Hall algebras, etc., and, by using the obtained G-S basis, we study some properties of the above mentioned Hall algebras. The second part study the following two problems in G-S basis theory : (1) Eisenbud viewed a commutative algebra as a factor algebra of a free algebra and lifted the given G-S basis of the commutative algebra to a G-S basis of the free algebra. In this project, by using the Eisenbud's idea, we want to lift the G-S basis of Lie algebra to the anti-commutative algebra and to lift the G-S basis of anti- commutative algebra to a G-S basis of a non-associative algebra. (2) Study the PBW type theorem in Shirshov form for dendriform algebras, restricted Lie algebras, super Lie algebras and their universal enveloping algebras.

本项目的研究内容由以下两个部分组成：一是研究最近几年发展的几类新的 Hall 代数（主要是导出 Hall 代数，复形的 Hall 代数，motivic Hall 代数等）的 Groebner-Shirshov基（简称 G-S 基）及应用所得到的 G-S 基来研究以上几类 Hall 代数的一些性质。二是研究 G-S 基理论中的以下两个问题:（1）Eisenbud 首先把交换代数看做是一个自由代数的商代数，然后用交换代数的 G-S 基来构造了自由代数的 G-S基。本项目将利用 Eisenbud 的思想研究用李代数的G-S 基来构造反交换代数的G-S 基；进一步，用反交换代数的G-S基来构造非结合代数的G-S 基等问题。（2）研究dendriform 代数，限制李代数，李超代数及他们的包络代数的 Shirshov 型 PBW 定理。

本项目的主要研究内容是由以下两个方面组成：一是研究最近几年发展的几种 Hall 代数（主要是导出 Hall 代数、复形的 Hall 代数、motivic Hall 代数等 ）的 GS 基及应用所得到的GS 基研究以上几类 Hall 代数的一些性质。二是研究GS 基理论中的以下两个问题：（1）Eisenbud 首先把交换代数看做是一个自由代数的商代数，然后用交换代数的GS 基来构造了自由代数的GS 基。本项目将利用 Eisenbud 的思想研究用李代数的 GS基来构造反交换代数的GS 基；进一步，用反交换代数的GS 基来构造非结合代数的GS 基等问题。（2）要研究 dendriform 代数、限制李代数、李超代数即它们的包络代数的 Shirshov 型 PBW 定理。在这四年的研究工作中，我们得到了以下结果：（1）用GS 基方法给出了有单位元的环中元素的 Drazin 逆和广义逆；（2）构造了 An、B2、G2 型导出 Hall 代数的GS 基，并且用此GS 基给出了An、B2、G2 型导出 Hall 代数的 PBW 基；（3）构造了An 型和 D4 型量子群上不可约模的GS 对；（4）构造了 An型扩张扭的导出 Hall 代数的GS 基，并且用此GS 基给出了An 型扩张扭的导出 Hall 代数的 PBW 基；（5）构造了半导出 Hall 代数的GS 基；（6）构造了 An型约化的Drinfeld double Hall 代数的GS 基，并且用此GS 基给出了An 型扩张扭的导出 Hall 代数的 PBW 基；（7）用GS 基理论证明了广义 down-up 代数是可解多项式代数，并且研究了广义 down-up 代数的分次结构；（8）构造了 An型 modified Ringel-Hall 代数的GS 基，并且用此GS 基给出了An 型modified Ringel-Hall 代数的 PBW 基；（9）构造了 An型 m-周期格代数的G S 基，并且用此GS 基给出了An 型m-周期格代数的 PBW 基；（10）通过构造适当的单项式序，我们证明了 An 型量子群是多项式代数，并且用构造性的和计算性的方法建立了此量子群的一些结构性性质；（11）我们用构造性和计算性的方法建立了量子矩阵代数和它的模的一些结构性性质。我们认为以上结果在研究这些代数的结构中起到一定的作用。