信号与线性系统中的低秩逼近及其有效算法研究

低秩逼近是高维数据矩阵降维处理的重要方法，它在信号与线性系统、图像处理、潜在语义检索等科学与工程领域中有重要应用。本项目主要研究信号与线性系统中的低秩逼近理论及其有效算法，具体研究内容为：(一) 研究低秩结构矩阵(加权)逼近问题，利用有理式函数刻画低秩结构矩阵类，建立新的可解性理论，设计高效稳定的迭代算法，并进行细致的数值分析和数值实验； (二) 研究大型稀疏矩阵方程的低秩逼近解问题，利用迭代矩阵的结构低秩逼近，构造适合于实际问题和现代计算机结构特性的保结构保秩迭代方法，或者借鉴Krylov子空间方法及其收缩、扩张技术，设计新的迭代算法，并构造相应的迭代加速技术和预处理方法；(三) 研究结构约束的矩阵动态低秩逼近问题，并利用动态优化方法和块线性投影方法求其动态低秩逼近解。本项目将精细刻画低秩结构矩阵类，建立新的可解性理论，提出高效稳定的数值算法，使该领域的研究工作有新的突破。

随着信息技术和互联网技术的迅速发展，人们面临分析和处理各种海量信息，为了高效处理这些以矩阵形式存放的数据，一个关键的步骤便是对数据矩阵进行降维处理。低秩逼近就是这样一种数据降维处理技术，它将高维空间的数据映射到某个低维空间，以获取高维数据更为本质的信息。本项目主要研究了信号与图像处理、机器学习和金融工程中的低秩逼近及线性系统中大型稀疏矩阵方程低秩解的理论与方法，研究成果主要体现在如下六个方面：(1) 研究了信号处理中的一类广义低秩逼近问题和一类Hankel矩阵加权低秩逼近问题，基于矩阵分解和Gramian表示，刻画了可行集，给出了存在解的充分条件，构造了求解的梯度型迭代方法；(2) 研究了金融工程中的相关系数矩阵低秩逼近和机器学习中的半正定低秩逼近问题，利用Gramian表示刻画了可行集，设计了精确线搜索下的非线性共轭梯度方法求解该问题。通过研究Q加权范数的性质，将Q-加权相关矩阵低秩逼近问题转化为矩阵最小迹问题，再利用非单调谱投影梯度方法求解，数值效果好；(3) 研究了双线性系统中的广义Lypunov方程的低秩解，首先利用混合单调算子不动点定理刻画了解的存在性，将低秩解问题转化为矩阵函数的迹最小化问题，借助于无约束优化方法求解；(4) 将结构约束的动态低秩逼近问题转化为投影矩阵的极小化问题，借助于极值条件将投影矩阵极小化问题转化为矩阵微分方程组的求解问题，再利用分块法进行求解；(5) 研究了交替投影类算法，利用该方法求解了大型稀疏矩阵方程的低秩逼近解，并进行了细致的数值分析；(6) 研究了凸约束下的大型矩阵方程问题，给出了解存在的条件，设计了保结构的迭代算法。. 在该项目的支持下，项目组发表学术论文20篇，其中SCI收录9篇，核心期刊7篇，培养硕士研究生9人。研究成果荣获“广西自然科学奖三等奖”和“桂林市优秀论文奖一、二等奖”。