若干类超前BSDE，带随机违约时间的BSDE，及相关领域

Backward stochastic differential equation (BSDE) is widely applied in financial mathematics and the PDE field. In order to enrich the frame of the BSDE theory, we will be concerned with the generalized anticipated BSDE, the anticipated backward doubly stochastic differential equation (BDSDE), the coupled forward-backward stochastic functional differential equation and the BSDE with random default time. For these equations, we will study the property of their solutions, the comparison theorem and so on, then discuss the related applications in the stochastic control/game problem and PDE area. We hope that through this program, we can obtain a series of results at the leading edge of scientific research, and provide powerful tools for the application of forward, backward stochastic differential euqaionts in finance.

倒向随机微分方程(BSDE)理论在金融数学及偏微分方程(PDE)等领域有着广泛的应用。作为对BSDE理论的完善和拓展，本项目拟讨论一般的超前BSDE、超前倒向重随机微分方程(BDSDE)、耦合的正-倒向随机泛函微分方程及带随机违约时间的BSDE，研究其解的属性及比较定理等性质，进而探讨其在随机控制/对策及PDE等领域中的应用。我们希望，通过该项目的研究，能够得到一系列国际前沿、国内领先的应用基础理论成果，为正、倒向随机微分方程在金融中的研究及应用提供强有力的工具。

近二十几年，BSDE理论广受众多学者的关注。本项目旨在完善BSDE理论，以更好的将其应用于金融数学、随机控制、PDE等领域。本项目的主要研究内容及成果如下：1.研究了超前BSDE，得到了其一般的比较定理，该结果中生成元应满足的条件较已有成果要弱，且在此工作基础上，更深入研究了推广的超前BSDE的比较定理；2.研究了完全耦合的正-倒向随机泛函微分方程，得到了其解的存在唯一性，并作为应用讨论了一类随机泛函系统中的二次最优控制问题并得到了其最优控制的具体形式；3.通过引入可违约框架下带随机违约时间的BSDE，得到了一类耦合的拟线性抛物型 PDE 系统解的概率解释，即将BSDE的解用PDE的解进行表示，建立了带随机违约时间的BSDE与PDE的一种联系；4.研究了黎曼流形上SDE的最优控制问题，其费用函数由受控的BSDE刻画，且在一定假设条件下，证明了此最优控制问题的值函数为相应的HJB方程的粘性解，此处的HJB方程为定义于流形上的完全非线性抛物型PDE。