与特殊函数相关的若干问题研究

Special functions is an important research area of mathematics. It is an important tool in studying number theory, combinatorics, asymptotics, probability theory, differential equations, numerical analysis and mathematical physics, etc. Furthermore, it has important applications in physics, engineering and statistics, etc. In this project, we are using methods from areas of analysis, in particular from theories of elliptic functions and basic hypergeometric series, to study (1)identities involving Jacobi theta functions and q-trigonometric functions; (2)identities involving special functions and arithmetical functions; (3)combinatorial congruences related to hypergeometric series. These problems are closely related to certain questions in number theory, combinatorics and physics. This project may stimulate progress in number theory, combinatorics and physics.

特殊函数是数学的重要研究领域,它不但是数论、组合数学、渐近分析、概率论、微分方程、数值计算和数学物理等领域的重要研究工具，而且在物理学、工程技术和统计学等领域也有重要的应用。本项目拟用椭圆函数理论、基本超几何级数理论等分析的方法研究与特殊函数相关的三个问题: (1)Jacobi Theta函数与q-三角函数的恒等式; (2)特殊函数与算术函数的恒等式; (3)与超几何级数相关的组合同余式。这些问题与数论、组合数学和物理学中的许多问题紧密相关,它们的研究将会促进数论、组合数学和物理学相关领域的发展。

本项目研究了与特殊函数相关的若干课题：1. 利用Theta函数的一个加法公式得到若干Theta函数恒等式，证明了W. Gosper的若干q-三角函数猜想，并建立了一些新的q-三角函数恒等式; 2. 利用WZ-方法和p-adic Gamma函数得到了若干与van Hamme同余式相关的组合同余式，证明了Swisher猜测的同余式的一些特例； 3. 利用生成函数建立了若干集数论函数和Fibonacci多项式、Lucas多项式于一体的无穷和； 4. 利用Polya frequence sequence得到若干整函数关于零点正负性的结果，部分回答了张瑞明教授关于整函数零点的一个问题； 5. 利用q-三角函数恒等式、模函数理论、模形式理论得到若干Pi_q恒等式并证明了W. Gosper的若干Pi_q恒等式猜想。这些课题的研究将会在数论、组合数学和特殊函数相关领域中起到重要作用。