具有记忆阻尼的随机系统的振动、扩散及信息熵演化研究

Study of nonlinear stochastic dynamics has become one of the most stirring and attention-getting problems in the field of the nonlinear science. The stochastic dynamical system with the memory damping is especially important in theoretical and application meanings, not only for the viscoelastic materials applied to the fields of Aeronautics, Astronautics and etc, but also for the anomalous diffusions of the particles in the dissymmetrical medium, such as turbulence, penetration medium, biological systems and etc. Therefore, some theoretical methods and numerical techniques are presented to analyze the stochastic responses and its second-order moments of the multiple degree-of-freedom systems with the Maxwell memory damping and two correlated non-Gaussian noises. We will illuminate the effects of the multiple relaxation times of the Maxwell memory damping, the coupling damping parameter, correlation and characteristic of noises on random vibration, anomalous diffusion and the time evolution of Shannon entropy.We will also illustrate the relationship between the frequency of harmonic-velocity noise and the transitions and changes of the instantaneous probability density. As a result, the obtained theoretical results and numerical methods will enrich the corresponding research of the stochastic dynamical systems with memory damping. The project will be very helpful for the related research and applications in engineering materials, physical and biological systems etc.

非线性随机动力学的研究是当前非线性科学领域中最活跃最受关注的研究课题之一。具有记忆阻尼的随机动力系统在现如今广泛应用于航空航天等各大领域的粘弹性功能材料方面；以及在湍流、渗透媒介、生物细胞等非均匀介质中粒子的反常扩散问题上都有着举足轻重的理论研究意义。鉴于此，本项目针对关联非高斯噪声激励下具有Maxwell型记忆阻尼的多自由度耦合系统，建立和发展对其随机响应及其二阶矩进行分析研究的有效理论方法和数值方法。明确Maxwell型记忆阻尼的多个延迟时间因子、耦合阻尼因子、噪声性质及关联性对随机振动、反常扩散问题以及信息熵演化规律的影响。从中确立关联简谐速度噪声的噪声频率与随机响应的瞬时演化概率密度的迁移和变化的关系。本项目的研究将丰富具有记忆阻尼的随机系统的研究理论和数值方法。进而以此为基础探索更多的非线性随机动力系统，为工程材料、物理、生物等学科相关问题的研究提供有效的理论分析手段和数值方法。

具有记忆阻尼的随机动力系统广泛应用于粘弹性材料、非均匀介质粒子的复杂运动问题等方面的研究，要了解清楚该类系统响应的长期行为需要对系统所存在反常扩散，随机振动以及信息熵演化进行研究。本项目通过三年期的研究工作，已完成了广义Maxwell型耗散记忆系统的反常扩散和随机共振问题的研究；建立了信息熵相关量的基于高阶Fokker-Planck方程下高阶表示；建立了与一般Maxwell型记忆阻尼关联的内噪声激励模型。.主要研究结果有：1）对于广义Maxwell型系统受简谐势的束缚，确立了反常扩散出现的条件和类型。研究了由内、外噪声(固有频率涨落噪声)及周期激励信号联合作用的一类记忆系统的输出稳态响应振幅的共振行为，且随机共振随着系统记忆时间的增加而减弱。而在热宽带噪声激励下，两个自由度记忆系统的耦合阻尼项使粒子远离简谐势场的束缚，且随时间变化呈现出一类反常扩散。若两热噪声互关联时，伴随关联强度递增，扩散加剧。2）在准单色噪声驱动下双指数型记忆核函数的耗散参数，噪声相关时间或系统摩擦系数取不同值时，熵产生和相应的均方位移关于时间的演化均出现了极值现象。对于不可转化马尔科夫过程的情形，引入高阶Fokker-Plank方程下信息熵相关量的高阶近似表示，高阶项对熵演化的影响十分显著；但当阻尼参数趋向零时，最终高阶熵演化退化到与低阶情形一致。3）构建了具有三指数型平稳相关函数的噪声激励模型，并得到其宽平稳性的参数条件；依据涨落耗散定理构造出三指数型广义 Maxwell 记忆核函数，研究得到当系统不受简谐势束缚时呈现弹道扩散现象的特定条件；掌握了长时间后系统耦合参数及高斯内噪声的相关时间对系统扩散行为的影响机制。