一类大规模结构线性鞍点问题的高效算法与理论

The large scale and structured system of linear equations may arise in many areas of scientific computing and engineering applications, including optimal design, computational fluid mechanics, structural engineering, aerodynamics, image processing, integrated circuits modeling, signal processing, control theory and so on. Hence, to study effective numerical methods and their theory for this class of linear systems is of important theoretical meaning, extensive application background and high economical value..A class of optimization problems constrained by partial differential equations, when discretized by finite element method,will result in a class of large structured linear saddle point problems. In this project, we will mainly study the algebraic constrction, the mathematics theory and the concret implementations of high-quality preconditioners and high-performance iteration methods for solving this class of linear systems. In particular,when the PDE constraints are the Poisson equations, the convection-diffusion equations and the Stokes equations, respectively, by fully utilizing the sparse pattern, the sub-block structure and the algebraic properties of the corresponding coefficient matrices，we will construct high quality preconditioners and fast, accurate and robust computational methods, establish their mathematical theories, and program and implement them.

摘要：大规模结构化线性方程组广泛地产生于科学计算与工程应用的许多领域，如优化设计、计算流体力学、结构工程、空气动力学、图像处理、集成电路模拟、动力系统模拟及信号处理和控制理论等。因此，研究这类线性代数方程组的高性能计算方法及其理论，就具有重要的理论意义、广泛的应用背景和很高的经济价值。.一类由偏微分方程约束的优化问题，经过合适的有限元离散会产生一类大规模结构线性鞍点问题。本项目主要研究求解这类特殊的线性代数方程组的高质量预处理子和高性能迭代方法的代数构造、数学理论及其具体实现。特别，针对约束偏微分方程分别为泊松方程、对流扩散方程和Stokes方程的具体情形，我们将利用相应矩阵的稀疏结构、子块结构及其代数性质，去构造高质量的预处理子和快速、准确而稳健的计算方法，建立关于这些方法的深刻的数学理论，并编制程序予以具体实现。此外，我们还拟将这些新方法和理论实际应用于大型气动外形的优化设计之中。

在流体力学、约束优化等大规模科学与工程计算的许多数值模拟中，80%以上的计算时间花费在求解系统离散形成的大型稀疏代数方程组的求解。因此研究这些结构线性系统预处理及快速计算具有重要的实际意义和广泛的应用背景。高效预条件子的构造一直是国内外计算数学重要热点研究课题之一，其已成为提高计算速度和精度的主要方法。本项目针对几种上述问题产生的大型结构线性系统的高效能算法进行了研究。我们通过进一步挖掘这些线性系统矩阵的代数结构和收敛性质，利用矩阵分裂及谱分析等方法，设计了相应的高效预处理子，提出了一些快速算法并进行了理论分析，利用问题来源模型进行了数值验证和分析。取得了一系列重要的结果，新的技术和方法丰富并发展了大规模科学计算与工程应用的理论和方法。项目发表SCI论文30余篇，培养毕业博士生及硕士生数人数10余人，达到了预期目标。